Question

如图，HO垂直于MN，O为垂足，点A、B、C分别在射线OM、OH、ON上移动。角ABO的外角平分线BD的反向延长线与角

如图，HO垂直于MN，O为垂足，点A、B、C分别在射线OM、OH、ON上移动。角ABO的外角平分线BD的反向延长线与角BAO的角平分线交于点E，角ACB的角平分线交AE于点G，交角BAO的外角平分线于点F，设角ABC=α，①试用α分别表示角AFC角AHC；②试猜想随着点A、B的移动，角AEB的大小是否发生变化？说明理由。

Answer 1

解：
（1）作为△ACF中∠CAF的外角，
∠FAM=∠CFA+∠ACF…………………①
∠FAM=1/2∠BAM………………………②
作为△ABC中∠CAB的外角
∠BAM=∠ACB+∠ABC…………………③
综合①②③可知
∠AFC=1/2α
又 ∵AE和AF分别是∠CAB和∠BAM的角平分线
∴ 1/2(∠CAB+∠BAM)=90°
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF=1/2(∠CAB+∠BAM)=90°
而∠AGC是△AGF中∠AGF的外角
∴∠AGC=∠EAF+∠AFC=1/2α+90°
（2）1/2∠ABH=∠AEB+∠BAE ……(△ABE中∠ABE的外角定理)
又∵∠ABH=90°+∠BAC……（△ABO中∠ABO的外角定理）
∴1/2(90°+∠BAC)=∠AEB+∠BAE
即45°+1/2∠BAC=∠AEB+∠BAE……④
又 ∵AE是∠BAC的角平分线
∴1/2∠BAC=∠BAE 带入④得
∠AEB=45°
故无论A,B,C如何变化，∠AEB不变