Question

几道高中数学题

1.已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3,2)，C（-3，-1），AD为BC边上的高，求（1）│AD向量│；（2）点D的坐标
2.在直角坐标系中，已知向量OA=（4，-4），向量OB=（5,1），向量OB在向量OA方向上的射影数量为│OM向量│，求向量MB的坐标。
3.在四边形ABCD中，向量AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a*b=b*c=c*d=d*a,判断四边形的形状。
4.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4)。要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值。
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要有详细过程，好的给加分~~谢谢

Answer 1

解：
（1）设D点坐标为（x,y）,则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2)
因为AD为BC上的高，所以有AD·BC=0
即 -6(x-2)-3(y+1)=0 …… (a)
又因为D为BC上的点，所以有BD//BC
即 (x-3)/(-6)=(y-2)/(-3)……(b)
联立方程(a),(b)解得：
x=4/3，y=1/3
得到了D的坐标，相信求解AD你肯定没有问题的吧～
（2）问题二与问题一其实是同一类问题，求解方法与问题一完全一致，相信你会的～
（3）a*b=b*c ==> (a-c)*b=0
c*d=d*a ==> (c-a)*d=0
==> (a-c)*(b-d)=0，为平行四边形
（4）设C点坐标为(x,y),则：
AB=(1,1)，BC=(x-3,y-2),CD=(-1-x,4-y),DA=(3,-3)
若ABCD为矩形，则：
AB*BC=0 ==> x-3+y-2=0
CD*DA=o ==> x-y+5=0
从而解得：x=0,y=5,即C(0,5)
AC=(-2,4),BD=(-4,2),|AC|=|BD|=√20
AC*BD=-2*(-4)+4*2=16=√20*√20*cos(夹角)
所以cos(夹角)=4/5

Answer 2

1.首先建模，你会发现ac是水平的，然后就是用AC作底B点到AC的距离做高，求面积，在算出BC的距离，用等面积法，AD向量的模长据搞定了！D的坐标，设D（x，y)然后就是算出bc的向量
和ad的向量，相乘等于零，在后，算出dc的向量再给BC平行就ok了，平行的效果你晓得吧！！
就这样吧，不想说了，这些题的方法都差不多！！

Answer 3

1.设D点坐标（x,y）,则AD向量即（2-x,-1-y），根据向量垂直的条件，AD垂直于BC，得出第一个方程：6(2-x)+3(-1-y)=0
其次，D点必然在直线BC上面，有了B、C两点坐标可以作出这条直线，这是第二个方程。
解出这个二元一次方程组，得到：
D（2,-1）
AD(0,0)
2.MB=-OM+OB
OM=X*OA
|OM|=|OB|cos∠BOA=OA·OB/|OA|=(4*5+(-4)*1)/(4根号2)=2根号2=1/2 OA
所以MB=-1/2OA+OB=(3,3)
3.由已知得：(a-c)*b=0所以（a-c）与b垂直或者a=c显然a不等于c得（a-c）垂直于b同理（a-c）垂直于d则b平行与d，且a平行与c所以ABCD是平行四边形所以角ABC+角BCD为180a*b*（180-角ABC）=b*c*(180-角BCD)所以角ABC=角BCD=90即为矩形
4.C（0，5）
ABCD 长为3根号2，宽是根号2
余弦定理得5分之4根号10