Question

一道高一（必修4）数学题

如图，在同一平面内i，∠AOB=150°，∠AOC=120°，│向量OA│=2，│向量OB│=3，│向量OC│=4.
(1)试用向量OB，向量OC表示OA
(2)是否存在实数λ，使得向量AD=λ向量AC，向量AC·向量BD=0同时成立？若成立，求出λ值；若不成立，请说明理由。

第一问用两个向量表示线段OA，是什么意思哇？。请大家写出详细过程。。

Answer 1

(1)第一问的意识应该是用两个向量表示向量OA
过程不妨令aOB+bOC=OA
将OB、OC分别沿AO方向和垂直于AO方向分解有
acos60°*3=bcos30°*4...........................................................(1)
asin60°*3+bsin30°*4=-2........................................................(2)
可求出a=-根号3/3,b=-1/4。
(2)以O为圆心，以OA所在直线为Y轴，建立直角坐标系
可知A（0,2）B（-3/2,-3根号3/2）C(2根号3，-2)
向量AC=（2根号3，-4）
因为向量AD=λ向量AC
所以D（2根号3*λ,2-4λ）
所以向量BD=（2根号3*λ+3/2，2-4λ+3根号3/2）
若向量AC·向量BD=0成立
则有向量BD*向量AC=0
有λ=（8+3根号3）/28
因为（8+3根号3）/28<1
所以存在,且λ=（8+3根号3）/28。