Question

已知函数f（x）=log2|cosx|．（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性...

已知函数f（x）=log2|cosx|． （1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断周期性，若是，求出其最小正周期； （4）写出单调递减区间．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=log2|cosx|．
∴|cosx|＞0，x≠kπ+π2，k∈Z，
对于f（x）=log2|cosx|，
令t=|cosx|＞0，则y=log2t，0＜t≤1，
∴y≤0，
∴定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}，值域为（-∞，0]；
（2）f（-x）=f（x）=）log2|cosx|．
定义域关于原点对称，
∴f（x）=log2|cosx|．为偶函数，
（3）∵f（x+π）=log2|cos（x+π）|=log2|cosx|=f（x），
∴f（x）是周期函数，最小正周期π
（4）分析单调性可得，y=log2t，0＜t≤1为增函数，
欲求f（x）=log2|cosx|的单调递增区间，
只需求出t=|cosx|的增区间即可，
∵t=|cosx|的增区间为[kπ-π2，kπ]（k∈Z）．
∴函数的单调递增区间是[kπ-π2，kπ]（k∈Z）．
故答案为[kπ-π2，kπ]（k∈Z）．