
已知函数f(x)=log2|cosx|.(1)求其定义域和值域;(2)判断奇偶性...
已知函数f(x)=log2|cosx|.(1)求其定义域和值域;(2)判断奇偶性;(3)判断周期性,若是,求出其最小正周期;(4)写出单调递减区间....
已知函数f(x)=log2|cosx|. (1)求其定义域和值域; (2)判断奇偶性; (3)判断周期性,若是,求出其最小正周期; (4)写出单调递减区间.
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解:(1)∵函数f(x)=log2|cosx|.
∴|cosx|>0,x≠kπ+π2,k∈Z,
对于f(x)=log2|cosx|,
令t=|cosx|>0,则y=log2t,0<t≤1,
∴y≤0,
∴定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},值域为(-∞,0];
(2)f(-x)=f(x)=)log2|cosx|.
定义域关于原点对称,
∴f(x)=log2|cosx|.为偶函数,
(3)∵f(x+π)=log2|cos(x+π)|=log2|cosx|=f(x),
∴f(x)是周期函数,最小正周期π
(4)分析单调性可得,y=log2t,0<t≤1为增函数,
欲求f(x)=log2|cosx|的单调递增区间,
只需求出t=|cosx|的增区间即可,
∵t=|cosx|的增区间为[kπ-π2,kπ](k∈Z).
∴函数的单调递增区间是[kπ-π2,kπ](k∈Z).
故答案为[kπ-π2,kπ](k∈Z).
∴|cosx|>0,x≠kπ+π2,k∈Z,
对于f(x)=log2|cosx|,
令t=|cosx|>0,则y=log2t,0<t≤1,
∴y≤0,
∴定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},值域为(-∞,0];
(2)f(-x)=f(x)=)log2|cosx|.
定义域关于原点对称,
∴f(x)=log2|cosx|.为偶函数,
(3)∵f(x+π)=log2|cos(x+π)|=log2|cosx|=f(x),
∴f(x)是周期函数,最小正周期π
(4)分析单调性可得,y=log2t,0<t≤1为增函数,
欲求f(x)=log2|cosx|的单调递增区间,
只需求出t=|cosx|的增区间即可,
∵t=|cosx|的增区间为[kπ-π2,kπ](k∈Z).
∴函数的单调递增区间是[kπ-π2,kπ](k∈Z).
故答案为[kπ-π2,kπ](k∈Z).
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