Question

如图所示,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点。 求证：CE⊥BE。

如图所示,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点。
求证：CE⊥BE。

Answer 1

证明：过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=90°，
∴∠D=∠A=∠CFA=90°．
∴四边形AFCD是矩形．
∴AD=CF，BF=AB-AF=1．
在Rt△BCF中
∵CF2=BC2-BF2=8，
∴CF= ．
∴AD=CF= ．
∵E是AD中点，
∴DE=AE= AD= ．
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
∵EB2=AE2+AB2=6，EC2=DE2+CD2=3，
∴EB2+EC2=9=BC2
∴∠CEB=90°．
∴EB⊥EC．

Answer 2

证明：过C作CD⊥于F
从而AFCD是矩形
∴AF=CD=1
那么 BF=AB-AF=2-1=1
在直角三角形BCF中，由勾股定理，得 CF^2=BC^2-BF^2=3^2-1^2=8, 即 CF=2√2
∵E是AD的中点
∴DE=EA=1/2AD=1/2CF=√2
在直角三角形CDE中，由勾股定理，得 CE^2=CD^2+DE^2=1^2+(√2)^2=3
在直角三角形ABE中，由勾股定理，得 BE^2=AE^2+AB^2=(√2)^2+2^2=6
∵E^2+BE^2=3+6=9, BC^2=3^2=9
∴E^2+BE^2=BC^2
从而 三角形ABE是直角三角形，BE是斜边
∴CE⊥BE。