谁有一套2010年中考数学压轴题？？？要很难很难，很有价值的那种。。。多多益善。。。
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22．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
24．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
（2）过P作 ，交BE于M，
∴ .
在Rt△ABC和Rt△BPM中， ，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE = － = －
= = .
∵ ，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小= .
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2. 8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作 ，交AC于N，
∴ .
∵ ，∴△PAN ∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴ ， .
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－( ) = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
22、（南充市）已知抛物线 上有不同的两点E 和F ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线 与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
解：（1）抛物线 的对称轴为 ． ……..（1分）
∵ 抛物线上不同两个点E 和F 的纵坐标相同，
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．
∴ 抛物线的解析式为 ． ……..（2分）
（2）抛物线 与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴ AB＝ ，AM＝BM＝ ． ……..（3分）
在∠PMQ绕点M在AB 同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴ ∠BCM＝∠AMD．
故 △BCM∽△AMD． ……..（4分）
∴ ，即 ， ．
故n和m之间的函数关系式为 （m＞0）． ……..（5分）
（3）∵ F 在 上，
∴ ，
化简得， ，∴ k1＝1，k2＝3．
即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分）
①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为 ，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ．
直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴 交点为（0，1）．
若MP过点F（－2，0 ），则n＝4－1＝3，m＝ ；
若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝ ． ……..（7分）
②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为 ，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ．
直线MF与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0， ）．
若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（ ）＝ ，m＝ ；
若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－ ＝ ，n＝ ． ……..（8分）
故当 或 时，∠PMQ的边过点F．
24. (（衢州卷）本题12分)
△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当 ， ， 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为( ， )， ……1分
点A的坐标为( ， )，
∵ A，B两点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为( ， )．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为( ，- )，
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则 ， ……1分
解得 ， (舍去)．
∴ 点B的横坐标是 ． ……2分
(2) ① 当 ， ， 时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为 ，
点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
( ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
24.（莱芜市本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线 交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于 轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1∶2两部分.
解：（1）∵抛物线 经过点 ， ， ．
∴ ， 解得 .
∴抛物线的解析式为： . …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是 .把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= ．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分
∴劣弧EF的长为： ． …………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点 .
∴ ，解得 .∴直线AC的解析式为： . ………8分
设点 ，PG交直线AC于N，
则点N坐标为 .∵ .
∴①若PN∶GN=1∶2，则PG∶GN=3∶2，PG= GN.
即 = .
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时， = .
∴此时点P的坐标为 . …………………………10分
②若PN∶GN=2∶1，则PG∶GN=3∶1， PG=3GN.
即 = .
解得： ， （舍去）.当 时， = .
∴此时点P的坐标为 .
综上所述，当点P坐标为 或 时，△PGA的面积被直线AC分成1∶2 两部分． …………………12分
24. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当 ， ， 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则 ， ……1分
解得 ， (舍去)．
∴ 点B的横坐标是 ． ……2分
(2) ① 当 ， ， 时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为 ，
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为( ， )， ……1分
点A的坐标为( ， )，
∵ A，B两点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为( ， )．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为( ，- )，
点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
( ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2= ，x1?x2=
由| x1－x2|= = = = ，
由| x1－x2|=2得 =2，∴ =2或 =－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2= x2+2x－83
即y1= x（x－2）或y2= （x－2）（x－4）其图象如右图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－94 ；
同理 ，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－2312 .
观察函数图象可知当b<－94 或b>－2312 时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1[来源:学§科§网Z§X§X§K]
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上所述可知：当b<－94 或b>－2312 或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
26．（河北省本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y = x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费6250 0元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x ，
w外 = x2＋（150 ）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 = ．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
23． (德州市本题满分11分)
已知二次函数 的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：(1)∵二次函数 的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得
解得：a=1，b=-2．
∴ ．-------------------2分
配方得： ，所以对称轴为x=1．-------------------3分
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC‖OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S= ，
= ．
由 = ．
．
∴S= ．-------------------10分
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0<t≤20．
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分
26.（宁德市本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
解：⑴ x，D点；………………3分
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝ x2；………………6分
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝ x2－ （3x－6）2＝ .………………9分
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝ （6－x）2＝ .………………11分
⑶当0＜x≤2时，∵y＝ x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝ ；
当2＜x＜3时，∵y＝ 在x＝ 时，y最大＝ ；
当3≤x≤6时，∵y＝ 在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝ .………………12分
综上所述：当x＝ 时，y最大＝ .………………13分
25．（2010年北京顺义）如图，直线 ： 平行于直线 ，且与直线 ： 相交于点 ．
（1）求直线 、 的解析式；
（2）直线 与y轴交于点A．一动点 从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……
照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ， ， ，…， ， ，…
①求点 ， ， ， 的坐标；
②请你通过归纳得出点 、 的坐标；并求当动点 到达 处时，运动的总路径的长．
解：（1）由题意，得 解得
∴直线 的解析式为 ． ………………………………… 1分
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
∴直线 的解析式为 ． …………………………… … 2分
（2）① A点坐标为 （0，1），
则 点的纵坐标为1，设 ，
∴ ．
∴ ．
∴ 点的坐标为 ． ………………………………………… 3分[来源:学§科§网]
则 点的横坐标为1，设
∴ ．
∴ 点的坐标为 ． ………………………………………… 4分
同理，可得 ， ． ……………………………… 6分
②经过归纳得 ， ． ……………… 7分
当动点 到达 处时，运动的总路径的长为 点的横纵坐标之和再减去1，
即 ． ……………………………………… 8分
24．(宜宾市本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，∵抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A(0，6)，
∴c=6．…………………………………………1分
∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，
∴0=9a–3b+60=36a+6b+6 ………………………………2分
解之，得a = – 13b = 1 …………………………3分
故此抛物线的解析式为：y= – 13x2+x+6…………4分
(2)设点P的坐标为(m，0)，
则PC=6–m，S△ABC = 12 BC?AO = 12×9×6=27．……………5分
∵PE‖AB，
∴△CEP∽△CAB．…………………………………………6分
∴S△CEPS△CAB = (PCBC)2,即 S△CEP27 = ( 6–m9 ) 2
∴S△CEP = 13(6–m)2.…………………………………………………7分
∵S△APC = 12PC?AO = 12(6–m)?6=3 (6–m)
∴S△APE = S△APC–S△CEP =3 (6–m) – 13(6–m)2 = – 13(m– 32)2+274.
当m = 32时，S△APE有最大面积为274；此时，点P的坐标为(32,0)．………8分
(3)如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，………………9分
连接AG、GC，
∵S梯形AOHG = 12a (b+6),
S△CHG = 12(6– a)b
∴S四边形AOCG = 12a (b+6) + 12(6– a)b=3(a+b)．………10分
∵S△AGC = S四边形AOCG –S△AOC
∴274 =3(a+b)–18．……………11分
∵点G(a，b)在抛物线y= – 13x2+x+6的图象上，
∴b= – 13a2+a+6.
∴274 = 3(a – 13a2+a+6)–18
化简，得4a2–24a+27=0
解之，得a1= 32，a2= 92
故点G的坐标为(32,274)或(92，154)． ……………………………………12分
24.（荆州市12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA‖BC，D是BC上一点，BD= OA= ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△ ，求△ 与五边形OEFBC重叠部分的面积．
解：（1）D点的坐标是 . （2分）
（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)
∴ ，即：
∴y与x的解析式为：
(6分)
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴ （也可用 ） (8分)
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE‖AB ， 又DB‖EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
(10分)
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为 或1或 （12分）
22．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
24．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
（2）过P作 ，交BE于M，
∴ .
在Rt△ABC和Rt△BPM中， ，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE = － = －
= = .
∵ ，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小= .
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2. 8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作 ，交AC于N，
∴ .
∵ ，∴△PAN ∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴ ， .
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－( ) = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
22、（南充市）已知抛物线 上有不同的两点E 和F ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线 与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
解：（1）抛物线 的对称轴为 ． ……..（1分）
∵ 抛物线上不同两个点E 和F 的纵坐标相同，
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．
∴ 抛物线的解析式为 ． ……..（2分）
（2）抛物线 与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴ AB＝ ，AM＝BM＝ ． ……..（3分）
在∠PMQ绕点M在AB 同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴ ∠BCM＝∠AMD．
故 △BCM∽△AMD． ……..（4分）
∴ ，即 ， ．
故n和m之间的函数关系式为 （m＞0）． ……..（5分）
（3）∵ F 在 上，
∴ ，
化简得， ，∴ k1＝1，k2＝3．
即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分）
①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为 ，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ．
直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴 交点为（0，1）．
若MP过点F（－2，0 ），则n＝4－1＝3，m＝ ；
若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝ ． ……..（7分）
②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为 ，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为 ．
直线MF与x轴交点为（ ，0），与y轴交点为（0， ）．
若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（ ）＝ ，m＝ ；
若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－ ＝ ，n＝ ． ……..（8分）
故当 或 时，∠PMQ的边过点F．
24. (（衢州卷）本题12分)
△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当 ， ， 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为( ， )， ……1分
点A的坐标为( ， )，
∵ A，B两点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为( ， )．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为( ，- )，
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则 ， ……1分
解得 ， (舍去)．
∴ 点B的横坐标是 ． ……2分
(2) ① 当 ， ， 时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为 ，
点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
( ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
24.（莱芜市本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线 交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于 轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1∶2两部分.
解：（1）∵抛物线 经过点 ， ， ．
∴ ， 解得 .
∴抛物线的解析式为： . …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是 .把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= ．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分
∴劣弧EF的长为： ． …………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点 .
∴ ，解得 .∴直线AC的解析式为： . ………8分
设点 ，PG交直线AC于N，
则点N坐标为 .∵ .
∴①若PN∶GN=1∶2，则PG∶GN=3∶2，PG= GN.
即 = .
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时， = .
∴此时点P的坐标为 . …………………………10分
②若PN∶GN=2∶1，则PG∶GN=3∶1， PG=3GN.
即 = .
解得： ， （舍去）.当 时， = .
∴此时点P的坐标为 .
综上所述，当点P坐标为 或 时，△PGA的面积被直线AC分成1∶2 两部分． …………………12分
24. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当 ， ， 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则 ， ……1分
解得 ， (舍去)．
∴ 点B的横坐标是 ． ……2分
(2) ① 当 ， ， 时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为 ，
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为( ， )， ……1分
点A的坐标为( ， )，
∵ A，B两点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为( ， )．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得 ，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为( ，- )，
点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， )．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
( ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2= ，x1?x2=
由| x1－x2|= = = = ，
由| x1－x2|=2得 =2，∴ =2或 =－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2= x2+2x－83
即y1= x（x－2）或y2= （x－2）（x－4）其图象如右图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－94 ；
同理 ，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－2312 .
观察函数图象可知当b<－94 或b>－2312 时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1[来源:学§科§网Z§X§X§K]
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上所述可知：当b<－94 或b>－2312 或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
26．（河北省本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y = x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费6250 0元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x ，
w外 = x2＋（150 ）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 = ．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
23． (德州市本题满分11分)
已知二次函数 的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：(1)∵二次函数 的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入 得
解得：a=1，b=-2．
∴ ．-------------------2分
配方得： ，所以对称轴为x=1．-------------------3分
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC‖OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S= ，
= ．
由 = ．
．
∴S= ．-------------------10分
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0<t≤20．
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分
26.（宁德市本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
解：⑴ x，D点；………………3分
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝ x2；………………6分
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝ x2－ （3x－6）2＝ .………………9分
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝ （6－x）2＝ .………………11分
⑶当0＜x≤2时，∵y＝ x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝ ；
当2＜x＜3时，∵y＝ 在x＝ 时，y最大＝ ；
当3≤x≤6时，∵y＝ 在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝ .………………12分
综上所述：当x＝ 时，y最大＝ .………………13分
25．（2010年北京顺义）如图，直线 ： 平行于直线 ，且与直线 ： 相交于点 ．
（1）求直线 、 的解析式；
（2）直线 与y轴交于点A．一动点 从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……
照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ， ， ，…， ， ，…
①求点 ， ， ， 的坐标；
②请你通过归纳得出点 、 的坐标；并求当动点 到达 处时，运动的总路径的长．
解：（1）由题意，得 解得
∴直线 的解析式为 ． ………………………………… 1分
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
∴直线 的解析式为 ． …………………………… … 2分
（2）① A点坐标为 （0，1），
则 点的纵坐标为1，设 ，
∴ ．
∴ ．
∴ 点的坐标为 ． ………………………………………… 3分[来源:学§科§网]
则 点的横坐标为1，设
∴ ．
∴ 点的坐标为 ． ………………………………………… 4分
同理，可得 ， ． ……………………………… 6分
②经过归纳得 ， ． ……………… 7分
当动点 到达 处时，运动的总路径的长为 点的横纵坐标之和再减去1，
即 ． ……………………………………… 8分
24．(宜宾市本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，∵抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A(0，6)，
∴c=6．…………………………………………1分
∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，
∴0=9a–3b+60=36a+6b+6 ………………………………2分
解之，得a = – 13b = 1 …………………………3分
故此抛物线的解析式为：y= – 13x2+x+6…………4分
(2)设点P的坐标为(m，0)，
则PC=6–m，S△ABC = 12 BC?AO = 12×9×6=27．……………5分
∵PE‖AB，
∴△CEP∽△CAB．…………………………………………6分
∴S△CEPS△CAB = (PCBC)2,即 S△CEP27 = ( 6–m9 ) 2
∴S△CEP = 13(6–m)2.…………………………………………………7分
∵S△APC = 12PC?AO = 12(6–m)?6=3 (6–m)
∴S△APE = S△APC–S△CEP =3 (6–m) – 13(6–m)2 = – 13(m– 32)2+274.
当m = 32时，S△APE有最大面积为274；此时，点P的坐标为(32,0)．………8分
(3)如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，………………9分
连接AG、GC，
∵S梯形AOHG = 12a (b+6),
S△CHG = 12(6– a)b
∴S四边形AOCG = 12a (b+6) + 12(6– a)b=3(a+b)．………10分
∵S△AGC = S四边形AOCG –S△AOC
∴274 =3(a+b)–18．……………11分
∵点G(a，b)在抛物线y= – 13x2+x+6的图象上，
∴b= – 13a2+a+6.
∴274 = 3(a – 13a2+a+6)–18
化简，得4a2–24a+27=0
解之，得a1= 32，a2= 92
故点G的坐标为(32,274)或(92，154)． ……………………………………12分
24.（荆州市12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA‖BC，D是BC上一点，BD= OA= ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△ ，求△ 与五边形OEFBC重叠部分的面积．
解：（1）D点的坐标是 . （2分）
（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)
∴ ，即：
∴y与x的解析式为：
(6分)
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴ （也可用 ） (8分)
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE‖AB ， 又DB‖EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
(10分)
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为 或1或 （12分）
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挑战中考数学压轴题，很好的
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