Question

一道高数的二重积分题，如图第6题，这里答案中图二的圈1到图三的圈二，这里用了什么性质变得？

求指点，求较为详细的说明，小弟在这里不胜感激。

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Answer 1

普通的对称性吧
如果在两个区域D1,D2之间存在一个一一映射(x1,y1)->(x2,y2)，满足f(x1,y1)=f(x2,y2)，则在这两个区域上的二重积分（n重积分都满足）相等，这就根据定积分/二重积分的基本定义直接推导出来

追问

可以具体到这个题吗

不太懂

追答

这个题目就很经典啊
以题目区域的第一象限和第二象限为例，函数f(x,y)=根号(||x|-y|)
第一象限的点(x,y) 和第二象限的点(-x,y)的函数值相等，而(x,y)->(-x,y)是一一映射，那么在这两个区域上的二重定积分想等

追问

你说这个我懂

我问的是，从我标记的圈1到圈2，这里为啥2D1能变成4D11，用了什么性质

追答

你光懂，但是没有灵活运用啊，你难道没有看出来D11是D1的一半，且D11和D1的另外一半存在这种对应关系吗？别人回答肯定会引导你去想答案啊

追问

这个题目就很经典啊
以题目区域的第一象限和第二象限为例，函数f(x,y)=根号(||x|-y|)
第一象限的点(x,y) 和第二象限的点(-x,y)的函数值相等，而(x,y)->(-x,y)是一一映射，那么在这两个区域上的二重定积分想等

这种说法没听说过，我就知道关于y轴对称，则把x当做自变量，y看做常数

偶倍奇零

可以把二重积分推到出来的结论，通俗说一下吗

这个映射是啥

映射关系是对称关系吗

追答

只要你能找到一个对应关系使得函数值相等即可，这里是关于y=x对称，但是这个性质不一定要对称，对称的要求更高

追问

不一定对称

行吧，自己也不是专门研究这一行业的，感觉懂一些就够了

Answer 2

追问

我不太明白为啥2D1等于4D11

这一步看不懂

追答

I = ... = 2∫∫√|x-y|dxdy ， （D11 = OABO）
= 2∫∫√|x-y|dxdy + 2∫∫√|x-y|dxdy
= 2∫dx∫√|x-y|dy + 2∫dy∫√|x-y|dx
定积分与积分变量无关，后项将 x， y 交换
I = 2∫dx∫√|x-y|dy + 2∫dx∫√|y-x|dy
因 |x-y| = |y-x| ， 则后项与前项相同，即
I = 4∫dx∫√|x-y|dy = 4∫∫√|x-y|dxdy

追问

谢谢

Answer 3

追问

为啥图形对称，那么被积式取值就相同？

是所有的都这样吗

即便被积式取值相同，那么D11和D12积分限还不一样呢，就能保证上的积分等于下的积分吗？

Answer 4

对称性可以知道