Question

在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上，∠ABE=∠DBM。∠ABC=60°。延

在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上，∠ABE=∠DBM。∠ABC=60°。延长BM到P,使BM=MP,连CP，若AB=7,AE=2根号7，求tan∠ACP的值。
点M在线段DF上，∠BAE=∠BDF

Answer 1

解：

（1）证明：如图1，连接AD．

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC．

又∵∠ABC=45°，

∴BD=AB•cos∠ABC即AB= √2BD．

∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，

∴△ABE∽△DBM．

∴AE/DM=AB/DB=√2 ，

∴AE= √2MD．

（2）∵cos60°= 1/2，

∴BD=AB•cos∠ABC，

即AB=2BD．

∴AE=2MD；

（3）如图2，连接AD，EP．

∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

又∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC= AB．

∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，

∴△ABE∽△DBM．

∴BE/BM=AB/DB=2 ，

∠AEB=∠DMB．

∴EB=2BM．

又∵BM=MP，

∴EB=BP．

∵∠EBM=∠ABC=60°，

∴△BEP为等边三角形，

∴EM⊥BP，

∴∠BMD=90°，

∴∠AEB=90°．

在Rt△AEB中，AE=2√7 ，AB=7，

∴BE=√(AB^2-AE^2)=√21 ．

∴tan∠EAB=√3/2 ．

∵D为BC中点，M为BP中点，

∴DM‖PC．

∴∠MDB=∠PCB，

∴∠EAB=∠PCB．

∴tan∠PCB= √3/2．

在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=7√3/2 ，

在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=7√3/4 ，

∴NA=AD-ND= 7√3/4．

过N作NH⊥AC，垂足为H．

在Rt△ANH中，NH= AN/2=7√3/8 ，AH=AN•cos∠NAH=21/8 ，

∴CH=AC-AH=35/8 ，

∴tan∠ACP=NH/CH=√3/5 ．