Question

高中椭圆和双曲线的综合问题

椭圆C1：是x^2/a^2+y^2/b^2=1(a，b大于0）的左右顶点分别为A,B点P双曲线C2：x^2/a^2-y^2/b^2=1在第一象限内的图像上一点，直线AP,BP分别与椭圆交于C,D点，若三角形ACD与三角形PCD的面积相等
（1）求P点坐标
（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，说明理由。

Answer 1

1,若三角形ACD与三角形PCD的面积相等
由于等高，可以得出AC=CP
A(-a,0),B(a,0),P(x0,y0),C(x1,y1)D(x2,y2)
AC=CP,x1=(x0-a)/2,y1=y0/2
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
即[(x0-a)/2]^2/a^2+(y0/2)^2/b^2=1 (1)
x0^2/a^2-y0^2/b^2=1 (2)
(1)*4+(2)整理得x0^2-ax0-2a^2=0
x0=2a or x0=-a
点P在第一象限内,x0=2a,带入（2）
y0=√3b
P点坐标(2a,√3b)
2,D在椭圆上，D也在直线BP上，
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1 (3)
kPB=kBD
,√3b/a=y2/(x2-a)
y2=√3b(x2-a)/a 带入（3）
整理得2x2^2-3ax2+a^2=0
x2=a/2 or x2=a,
点D与点B不重合，所以舍去x2=a
,x2=a/2,带入（3）
y2=-√3b/2
C,D的横坐标相同，直线CD过椭圆C1的右焦点
所以椭圆焦点为(a/2,0)
a^2-b^2=(a/2)^2
b^2=3a^2/4
设双曲线半焦距为c,
b^2=3a^2/4=c^2-a^2 c^2=7a^2/4
e^2=7/4, e=√7/2

Answer 2

一、设p(x。,y。)，根据三角形ACD与三角形PCD的面积相等可知，c是AP中点
p在c2上，则y。为b√（x。²/a²-1）,c为（(x。-a)/2,b√（x。²/a²-1）/2)
C在椭圆上，代入得x。=-a(舍),2a
∴p(2a,√3b)
二、假设过焦点，由一得C(a/2,√3b/2)
BP直线方程为y=(√3b/a)x-√3b与椭圆方程联立得，
D（a/2,-√3b/2）
则焦半径c=a/2,此时双曲线离心率为√5/2