Question

已知abc不等于0且a+b/c=b+c/a=c+a/b,求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

Answer 1

疑问：a+b/c是指(a+b)/c还是就是a+b/c?我解的是后者，如果不是，麻烦你说一下，我再解过。
分析：观察等式a+b/c=b+c/a=c+a/b，可以初步的提出a=b=c≠0.下面我们来试着解这个猜想。
解：(a+b)/c=(a+b+c)/c-1 同理，(b+c)/a=(a+b+c)/a-1 (c+a)/b=(a+b+c)/b-1
============因为原式不好处理，故对其作变形处理。常见的就是+1 -1之类的============
那么，原等式可写成(a+b+c)/c-1=(a+b+c)/a-1=(a+b+c)/b-1
============等量带换，即用相等的式子替换=====================================
化简整理得 1/c=1/a =1/b
============首先给等式的每部分+1，再同除以(a+b+c)，即得上式。==================
所以 a=b=c
============这个式子正好证明了起初的猜想=====================================
因此，原式 (a+b)(b+c)(c+a)/abc=6
============将所有的b和c用a代替便得到答案了。=================================

Answer 2

因为a+b/c=b+c/a=c+a/b ,所以a+b/c+1=b+c/a+1=c+a/b+1,即a+b+c/c=b+c+a/a=c+a+b/b.又abc不等于0,则a=b=c. 所以(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8