Question

如图，已知，AC是圆O的直径，PA⊥AC,连接OP,弦CB平行OP，直线PB交直线AC于点D,BD=2PA

证明;直线PB是圆O的切线

Answer 1

（1）连接OB．
∵BC‖OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB． （1分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA． （3分）
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线． （4分）
（2）2PO=3BC．（写PO= 32BC亦可）
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA． （5分）
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC‖PO，∴△DBC∽△DPO． （6分）
∴ BCPO=BDPD=23，
∴2PO=3BC． （7分）

（3）∵△DBC∽△DPO，
∴ DCDO=BDPD=23，
即DC= 23OD．
∴DC=2OC． （8分）
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2即2x2=y2．
∵x＞0，y＞0，
∴y= 2x，OP= x2+y2= 3x． （9分）
∴sin∠OPA= OAOP= x3x= 13= 33． （10分）

Answer 2

∵BC‖OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线

Answer 3

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