Question

一道高一数学题 ！ 急！！

数列{an}的前n项和记为Sn，且a1=1,a(n+1)=三分之一Sn(n=1,2,3。。。。)
求:（1）a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式。
（2）a2+a4+a6+。。。。+a2n的值

感激不尽！

Answer 1

(1)由a(n+1)=Sn/3可以带入求得：
n=1,a2=S1 /3=1/3 (S1=a1)
n=2,a3=S2 /3=4/9 (S2=a1+a2)
n=3,a4=S3 /3=16/27 (S3=a1+a2+a3)
n=4,a5=S4 /3=64/81 (S4=a1+a2+a3+a4)

an=Sn-S(n-1)=3a(n+1)-3an (n>1,n为自然数)
求得 a(n+1)=4/3*an
则{an}=1 (n=1);
=1/3 (n=2);
=[4^(n-1)]/3^n (n>=3,n为自然数)

(2)a2+a4+a6+...+a2n=S2n -S1
=3a(2n+1) -a1
=(4/3)^2n -1

Answer 2

a1=1,a(n+1)=三分之一Sn
所以a2=1/3,a2=1/9,a3=1/27
an=(1/3)^(n-1)

原式=1/3+(1/3)^3+(1/3)^5+.......+(1/3)^(2n-1)
=[1/3(1-(1/9)^n]/(8/9)
=3(1-(1/9)^n)/8

Answer 3

a(n+1)=s(n)/3 s(n)=3a(n+1)
a(1)=s(1)=1
a(2)=s(1)/3=1/3
a(3)=s(2)/3=[a(1)+a(2)]/3=4/9
a(4)=s(3)/3=[a(1)+a(2)+a(3)]/3=16/27
a(n)=s(n)-s(n-1)=3a(n+1)-3a(n) (n>=2)
a(n+1)/a(n)=4/3
所以数列是以1/3为首项，以4/3为公比的等比数列
所以 a(n)=4^(n-2)/3^(n-1) n>=2 a(1)=1
2)a(2n)=4^(2n-2)/3^(2n-1) a(2n+2)/a(2n)=4^2n/3^(2n+1)/[4^(2n-2)/3^(2n-1)]=16/9
a2+a4+ +a2n
=a2(1-(16/9)^n)/(1-16/9)
=3/7*[1-(16/9)^n}