√an/n≤1/2(an+1/n²)'
高二柯西不等式设a1,a2,...an是一串互不相等的正整数证明对一切自然数n都有（a1/1^2）+（a2/2^2）+...+（an/n^2）>=1+1/2+...+1/...
高二柯西不等式
设a1,a2,...an是一串互不相等的正整数证明对一切自然数n都有（a1/1^2）+（a2/2^2）+...+（an/n^2）>=1+1/2+...+1/n 展开
设a1,a2,...an是一串互不相等的正整数证明对一切自然数n都有（a1/1^2）+（a2/2^2）+...+（an/n^2）>=1+1/2+...+1/n 展开
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这个好像用均值和柯西差不多.
用柯西解决
﹛[﹙√a1﹚/1]²＋[﹙√a2﹚/2]²＋…＋[﹙√an﹚/n]²﹜[﹙1/√a1﹚²＋﹙1/√a2﹚²＋…＋﹙1/√an﹚²]≥[﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚]²
即 [﹙a1/1²﹚＋﹙a2/2²﹚＋…＋﹙an/n²﹚][﹙1/a1﹚＋﹙1/a2﹚＋…＋﹙1/an﹚]≥[﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚]²
∵a1,a2…an互不相等的正整数 ∴[﹙1/a1﹚＋﹙1/a2﹚＋…＋﹙1/an﹚]≤ [﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚] 代入上一式子 即可得出所求结论
用柯西解决
﹛[﹙√a1﹚/1]²＋[﹙√a2﹚/2]²＋…＋[﹙√an﹚/n]²﹜[﹙1/√a1﹚²＋﹙1/√a2﹚²＋…＋﹙1/√an﹚²]≥[﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚]²
即 [﹙a1/1²﹚＋﹙a2/2²﹚＋…＋﹙an/n²﹚][﹙1/a1﹚＋﹙1/a2﹚＋…＋﹙1/an﹚]≥[﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚]²
∵a1,a2…an互不相等的正整数 ∴[﹙1/a1﹚＋﹙1/a2﹚＋…＋﹙1/an﹚]≤ [﹙1/1﹚＋﹙1/2﹚＋…＋﹙1/n﹚] 代入上一式子 即可得出所求结论
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