Question

高数，函数求极限

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Answer 1

我们先来说一说求极限时的一般原则.

• 首先, 运用极限的运算法则(四则运算, 连续函数的极限, 复合函数的极限), 确定极限是不是未定式极限；

• 两种基本的未定式极限是 0/0 和 型, 这两种情形一般可以用洛必达法则来求. 有一些特殊的情形, 我们接下来讲；

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• 其它未定式极限,要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。

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各种类型的极限求法:

• 对未定式极限，0/0 型或者 ，最有效也是最基本的方法是洛必达法则。也就是在求极限的时候，先分子分母分别求导，再求极限。例如
  

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• 0/0 型，  ，且分子分母都是多项式，则分子分母可以约去无穷小因子 。

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• 0/0 型，  ，且分子或者分母有根式， 则先对根式有理化，然后用极限运算法则或者约去无穷小因子的方法来计算。

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• 0/0 型，  ，分子或分母有三角函数，则利用三角函数恒等式或其它变换，化成两个重要极限的第一个，利用那个极限来求。

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• 型， （或者 ），且分子分母都是 x （或者 n）的多项式或者类似于多项式（根式里是多项式）时，分子分母同除以 x 的最高阶幂。

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• 型，如二者都是分式，则先通分，化成两种基本形式，再用洛必达法则或者其它方法求极限。

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• 型，如果其中一个含有根式，则先有理化，再用其它方法求极限。

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• 型 ， 首先尝试能不能化成  的复合式，然后利用已知极限 , 这里 是一个无穷小量。

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• 型， 型，  型，先取对数， 再取 e 底，化成基本的未定式极限 ，然后用洛必达法则或者其它方式求极限。例如最后一步是对指数部分应用洛必达法则。

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• 型，将其中一个乘式变成分母，从而化成两种基本形式的未定式；再利用其它方法求积分。例如
  

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• 如果未定式极限里，函数比较复杂，不能用洛必达法则或者洛必达法则使用起来太麻烦的话，则考虑用泰勒展开来求极限。例如
  
  前者将  展开到三阶，后者将  展开到  的四阶。

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• 如果可以通过一个明显的放缩，且放缩后两者的极限都相等的话，就使用夹挤原理来求极限。例如
  
  显然有
  
  不等号的左边和右边都有相同极限 1（只需要在分子分母除以  即可），所以由夹挤原理，原极限为 1。

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• 如果含有变上限积分，那么通常情况下是洛必达法则结合变上限积分的导数来求；

• 如果数列是用递推或者迭代形式给出， 即 ， 那么肯定是用递推法来求极限，这时候，要注意，一定要先证明极限存在（单调有界数列），然后两边取极限，可得一个代数式，从而可以求得极限；

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• 如果是数列的每一项是无限多个项相加，且每一项可以写成  的话，那么这个极限可以用定积分的定义来求。这里， 取值范围就是定积分的积分上下限，而  就是被积函数。例如
  
  这里， ，所以被积函数是 ， 在和式里的取值范围是从 0 到 1。(0 这一项可以认为没写出来）。所以原极限等于定积分
  

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• 分段函数在分段点处的极限一定要求左右极限，然后确定二者是否相等；

• 幂指函数  的极限，如果是未定式极限， 一定要先化成 形式，然后运用复合函数的极限法则，将极限符号移到指数上去，对指数部分用未定义极限的求法求极限。也就是说
  

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Answer 2

算一下分子极限，然后用诺必达法则

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 3

分析：基本题，你的概念太差了，一点书都没看，只是记了一下公式。以下详细解答你的疑惑

答：

1、求极限首要想到用洛必达法则，但是洛必达法则的条件是：必须是∞/∞或者0/0型，而所求极限的形式为：0^无穷大型，显然不能直接求；

2、对于指数式，有一个很简单的变换是：x=e^(lnx)（初中内容，从这里也可以看出，你数学一直不好，基本上从来不看书不理解，只是记公式！）因此：

y=[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)可以变成：

y=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[x^(1/x) - 1]/lnx}

=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[e^(lnx/x) - 1]/lnx}

原极限

=lim(x→+∞)[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)

=lim(x→+∞) e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}

=e^{lim(x→+∞) ln[x^(1/x) - 1]/lnx}

2、

分子→(洛必达) [e^(lnx/x)]·(lnx/x)'/[e^(lnx/x) - 1]

=[e^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]/[e^(lnx/x) - 1]

分母→(洛必达) 1/x

原分式=分子/分母

=[xe^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]'/[e^(lnx/x) - 1]

上式中：根据等价无穷小 e^x -1 ～x，因此：e^(lnx/x) - 1 ～ lnx/x

而lim(x→+∞) lnx/x = lim(x→+∞) (1/x)/1 = lim(x→+∞) 1/x =0

因此：

 lim(x→+∞) e^(lnx/x) =e^0 = 1

原分式

=lim(x→+∞) x·[(1-lnx)/x²]'/(lnx/x)

=lim(x→+∞)  (1-lnx) / (lnx)

=lim(x→+∞)  (1/lnx) - 1

=-1

原式= e^{lim(x→+∞) ln[x^(1/x) - 1]/lnx}

=e^(-1)

=1/e

Answer 4

关于y=x对称，说明是反函数
y=1+lg（x-2）
lg（x-2）=y-1
x-2=10^（y-1）
x=10^（y-1）+2
f（x）=10^（x-1）+2

追问

您说的这些和本题有什么关系呢？能不能搞点真实点的