Question

定积分 求解过程

设函数f(x)满足f(0)=0,f(0)的导数存在，令F(x)=∫(0~x)t^(n-1)f(x^(n)-t^(n))dt
求lim（x-0）F(x)x^(-2n)

Answer 1

F'(x)=x^(n-1)f(x^(n)-x^(n))+∫(0~x)t^(n-1)nx^(n-1)f'(x^(n)-t^(n))dt
=nx^(n-1)∫(0~x)t^(n-1)f'(x^(n)-t^(n))dt（因为f(0)=0）
= -x^(n-1)∫(0~x)f'(x^(n)-t^(n))d(x^n-t^n)（因为d(x^n-t^n)= -nt^(n-1)dt）
= -x^(n-1) (f(x^(n)-x^(n))-f(x^(n)-0))（因为∫f'(u)du=f(u)）
=x^(n-1) f(x^(n))
因为x趋于0时，x^(2n)、F(x)趋于0，应用罗必达法则：
lim（x-0）F(x)x^(-2n)=lim（x-0）F‘(x)/(2nx^(2n-1))=lim（x-0）f(x^n)/(2nx^n)=f'(0)/(2n)