当x>1时,证明x>lnx
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x-lnx=lnex-lnx=ln(ex/x)
因为x>1, ex>e>1, ex>x, (ex/x)>1, ln(ex/x)>0,故x-lnx>0,即x>lnx
因为x>1, ex>e>1, ex>x, (ex/x)>1, ln(ex/x)>0,故x-lnx>0,即x>lnx
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可以从导函数考虑 在x=1时 x>lnx
而当x>1时 lnx的导函数是1/x 要小于1 而x的导函数是1 也就是说 x的增长率永远大于lnx
综上 我们可以知道x会比lnx大 而且差距越来越大
而当x>1时 lnx的导函数是1/x 要小于1 而x的导函数是1 也就是说 x的增长率永远大于lnx
综上 我们可以知道x会比lnx大 而且差距越来越大
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证明:
令y=x-lnx,求导得y'=1-1/x;
当x>1时,y'<0,函数y递减.
从而y(x)>y(1)=0.
即x>lnx。
令y=x-lnx,求导得y'=1-1/x;
当x>1时,y'<0,函数y递减.
从而y(x)>y(1)=0.
即x>lnx。
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可以画一条函数图象
f(x)=lnx 在第一四象限中单调递增、趋于平缓,且与x轴正半轴交于(1,0)。由图可知x>lnx
或者用导数。过程和楼上一样。
希望对你有帮助。
f(x)=lnx 在第一四象限中单调递增、趋于平缓,且与x轴正半轴交于(1,0)。由图可知x>lnx
或者用导数。过程和楼上一样。
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