Question

高一物理机械能问题

光滑水平面上有一条长为L的细铁链，初速度为V0，在铁链长度方向上向右滑动，遇到一个内侧带有光滑槽沟的竖直放置的圆环状轨道（在最下方错开）。圆环半径为R，且L>2piR,铁链能滑上轨道完成圆周运动又向右滑去，求最小初速度。

Answer 1

可以这样来分析，
假设铁链的单位长度密度为ρ，则整个铁链的质量是m=ρL, 一小段长Δl的铁链质量Δm=ρΔl。
当铁链冲上圆环轨道后，整条铁链的速度会减低。如果速度过低，那么铁链会掉下来。为什么呢？因为在铁链绕着圆环轨道前进的过程中，铁链的圆周运动必须由:
1) 铁链自身的重力在半径方向的分量,和
2) 铁环对铁链指向圆心的压力T 来提供向心力。
从圆环跟地面接触的那一点开始计算角度θ，则在某一角度θ处的一小段质量为Δm的小铁链，它所受到的向心力F为：
F=T-Δmgcosθ=Δm V^2/R
V是此时铁链的速度。
T应该>=0,所以：T=Δm V^2/R+Δmgcosθ>=0, 即：
V^2>=-gRcosθ.
显然在整个圆环上，圆环的顶端θ=180°，此时-gRcosθ最大=gR。必须保证铁链在这个地方也能顺利通过，因此：
当有铁链通过顶端时，必须：V^2>=gR -----------------(1),

此时，整个铁链的动能
E1=1/2mv^2=1/2*ρL*V^2; (我们心里要清楚，这种假设是基于这条铁链是足够灵活而又足够刚性，它能在瞬间将速度的变化传递给所有部分，所以铁链的各个部分总是保持一样的速度。)
整条铁链的势能：
首先仍然趴在地上的那一部分没有势能。
在圆环内的那一段的势能是多少呢？无疑，如果整个圆环内铺满铁链，此时它的势能是最大的。这个时候，由于整个圆环都铺满了铁链，我们可以很容易的根据对称关系把圆环上铁链的质心确定在圆心，所以它的势能为：
E2=（ρ2πR)*g*R=2πρgR^2.
铁链初始时只有动能：
E0=1/2*ρL*V0^2;
根据能量守恒定律，此时：
E0=E1+E2,经过运算我们很容易得出来：
V^2=V0^2-4πgR^2/L,
然后我们再把(1)式：V^2>=gR 代进去，就可以的出来：
V0>=${(4πgR^2+gRL)/L}，这就应该是最小初始速度了。不知道是否正确？
为方便电脑书写，根号用${.........}表示。