Question

高中数学的问题14

a>b>c求证 bc^2+ca^2+ab^2<b^2c+c^2a+a^2b
请写出过程谢谢

Answer 1

不等式左边移到右边，有：
(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)
(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)
=ab(a-b)+c(b^2-a^2)+c^2(a-b)
=(a-b)(ab-c(a+b)+c^2)
=(a-b)[a(b-c)-c(b-c)]
=-(a-b)(b-c)(c-a)>0
所以成立

Answer 2

证明:
若证:
bc^2+ca^2+ab^2<b^2c+c^2a+a^2b
即证
bc^2+ca^2+ab^2-(b^2c+c^2a+a^2b)<0
即证
bc*(c-b)+ca*(a-c)+ab*(b-a)<0
即证
bc*(c-b)+ca*(a-b+b-c)+ab*(b-a)<0
即证
bc*(c-b)+ca*(a-b)+ca*(b-c)+ab*(b-a)<0
即证
(a-b)*(ca-ab)+(b-c)*(ca-bc)<0
即证
-a(b-c)*(a-b)+c(b-c)*(a-b)<0
即证
(a-b)*(b-c)*(c-a)<0

而
(a-b)*(b-c)*(c-a)<0
恒成立 所以原不等式成立
得证