Question

已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA。探索∠DBC与∠ABC度数的比值。

（1） 当∠BAC＝90°时，AB＝AC，推出∠DAC＝∠DBC＝15°,可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3。
（2） 当∠BAC≠90°时，请画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

Answer 1

解：（1）①当∠BAC=90°时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC；
②当∠DAC=15°时，∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=75°，∴∠DBA=150°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∵KC⊥AC，AB⊥AC，∴KC∥AB，
∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，∴∠ABC=45°，∴AC=AB，∴四边形ABKC是正方形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD（SAS），
∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．∵KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，
∵∠ABC=∠6=45°，∴∠DBC=60°-45°=15°，∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

Answer 2

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