Question

an为等差数列bn为等比数列,已知an+bn的前n项和为sn

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn

Answer 1

∵an是Sn与2的等差中项
∴2an＝Sn＋2 (*)
令n＝1,得2a1＝S1＋2＝a1＋2
∴a1＝2
由(*)得：
2a(n＋1)＝S(n＋1)＋2
两式相减,得：
2a(n＋1)－2an＝a(n＋1)
即a(n＋1)＝2an
a(n＋1)/an＝2
∴{an}是以首项a1＝2,公比q＝2的等比数列
∴an＝2•2^(n－1)＝2^n
点P(bn,bn＋1)在直线y＝x＋2上
则b(n＋1)＝bn＋2
即b(n＋1)－bn＝2
∴{bn}是以首项b1＝2,公差d＝2的等差数列
∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n
Cn＝an＋bn＝2^n＋2n
用分组求和的方法求Tn即可
Tn＝(2＋4＋……＋2^n)＋(2＋4＋6＋……＋2n)＝[2(1－2^n)/(1－2)]＋n(2＋2n)/2＝2^(n＋1)＋n^2＋n－2