Question

问一条高数题目。。。怎么求图中的积分。。。

图在这里。。

Answer 1

解：设√[(1-ρ²)/(1+ρ²)]=t，则ρdρ=-2tdt/(t²+1)²
∴原式=-2∫(1,0)t²dt/(t²+1)² (∫(1,0)表示从1到0积分，其它类同)
=2∫(0,1)[1/(t²+1)-1/(t²+1)²]dt
=2[arctant]│(0,1)-2∫(0,1)dt/(t²+1)²
=2(π/4-0)-2∫(0,π/4)cos²θdθ (在积分中，令t=tanθ)
=π/2-∫(0,π/4)(1+cos(2θ))dθ
=π/2-[θ-sin(2θ)/2]│(0,π/4)
=π/2-(π/4-1/2)
=π/4-1/2。

追问

一定要整个换元吗？有没有其他方法？

Answer 2

连续代换，先设p²=t
那么原式=1/2∫（0-1）√（1-t）/(1+t) dt
再设 √（1-t）/(1+t)=m,那么t=(1-m²)/(1+m²)
所以原式=-1/2∫（0-1) m*4m/(1+m²)dm
=-1/2∫（0-1) [4 - 4/(1+m²)]dm
=2 [arctanm - m]|1
0
= π/2 - 2
PS：抱歉最后一块计算出错了，答案就该是楼下那样的……