Question

想问一下这道高数定积分是哪里有问题，为什么这种方法求出来不对……

求定积分里面有一小节是这个，如果直接三次方一个个计算，算出来是5pai，这是对的。
但是我又试了下另外的方法，算出来却是10pai……

Answer 1

你对华莱士公式用错了，下面的式子是被积变量的范围是0,pi/2，对于你这个被积变量是x/2的情况下，x的范围必须是0到pi，你没有理解定积分上下限的含义

追问

是的，我昨晚回去突然想明白了，t/2已经是0～pai/2了，这里简单换元一下其实就可以了，不用再乘2，这样答案就对了，就是5pai

Answer 2

公式用错了，你的上下限依旧认为是t的范围，但是最后那步你用的那个公式是指括号里那一整块，也就是你的t/2，在倒数第四步的时候，先用x代换t/2，不要偷懒，改变你的上下限范围，这个时候就已经可以代入最终的公式了，而不是用sin函数在0~pi的函数图像解决，你这样用，你有没有仔细思考过，sinx和sinx/2两个函数是不一样的呀？前者的周期是0~2pi，后者的周期是0~4pi，所以你用的那个0~pi内，上下限可以”折叠“提2出来，这步是错的。因为这个时候你的横坐标还是t呢，而不是t/2.如果你要用一样的思路，那就是在0~2pi内，sint/2可以提2出来。总结一下：多提了一个2出来，因为你把你的自变量搞混了，套公式一定要理解公式作用于哪个自变量。在倒数第四步就可以直接约简进行最后的求解了，不需要再多一步。

追问

是的，我昨晚回去突然想明白了，t/2已经是0～pai/2了，这里简单换元一下其实就可以了，不用再乘2，这样答案就是5pai

Answer 3

你的前三个等号没问题
第四个等号虽然按Riemann-Stieltjes积分的记号是对的, 但这个历史遗留的糟糕记号导致了你后面的错误, 理论上第五个等号按Riemann-Stieltjes积分的记号也是对的(但应该已经不是你所想象的意义了), 后面第六个等号错了
比较好的方式是从第四个等号开始显式换元, 避免使用Riemann-Stieltjes积分的记号, 碰到你想写 d f(t) 的场合一律显式使用 u=f(t) 的代换, 只出现 du 这样简单的微分记号

Answer 4

知道分数线都是按照数学积分的方式的，所以这种方法提出来，提出来方式是对的，但求出来结果就不对了

Answer 5

一般情况下的话我觉得像这个积分的话确实合适会出现一定的问题的所以说一般情况下遇到这种问题的话建议可以从后台里面重新再进入就可以了非常的方便