Question

已知a,b,c属于R+，且1/a+2/b+3/c=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值时的a,b,c的值

Answer 1

解：a+2b+3c
=2*[(a+2b+3c)/2]
=(1/2)(1/a+2/b+3/c)(a+2b+3c)
=(1/2)(1+2b/a+3c/a+2a/b+4+6c/b+3a/c+6b/c+9)
=(1/2)[(2b/a+2a/b)+(3c/a+3a/c)+(6c/b+6b/c)+14]
由均值不等式，有：
原式>=(1/2)[2√(2b/a)(2a/b) +2√(3c/a)(3a/c) +2√(6c/b)(6b/c) +14]
=(1/2)[4+6+12+14]
=18
当且仅当a=b=c=3时，取等号
故a+2b+3c最小值为18

Answer 2

解：由柯西不等式
（1/a+2/b+3/c)(a+2b+3c)≥(1/√a·√a+√2/√a·√2a+√3/√a·√3a)=(1+2+3)^2=36
即2（a+2b+3c)≥36,得（a+2b+3c)≥18