Question

初中数学几何题

如图，三角形ECA，延长EA至B，使得AC=AB，取EC中点F，连接并延长BF，与过A点的BC的平行线交于D，连接CD，求证△DCA∽△ECB
图片插了。。没人会么？

Answer 1

能解一切初中几何题的方法

最近做了一道“厄运几何题 (Geometry Problem of Doom)”。图形很简单，和中考数学压轴题很像。但有一个特殊要求：不能使用任何三角学的知识。研究了几个小时，写满了六页纸也没证明出来。突然发现，不让用三角学意味着此题用三角学可以解决。于是建立坐标系，用很机械但很系统的方法，把每个关键点的坐标都用三角函数表示出来。十分钟后，结果出来了。由此引发以下猜想。

猜想：在已下定义的几何图形中，用“建立坐标系并把每个点的坐标用三角学定理表示”的方法，外加基本数学技巧，可以求出或表示出一切值。

具体方法：选某点为原点，以一定方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系。然后利用已知条件把每一个点表示出来。
注：1）为减少计算量，应选关键点为原点，选关键直线为X轴正方向；2）可以不求某些不重要的点的坐标；3）在表示坐标的时候会大量用到解三角形的定理，如勾股定理和正弦定理。熟知它们有助于提高效率。

尽管目前只在一道题中进行了实验，不过我感觉很有把握。如果成立的话，那么这种方法可以解决一切中考几何或代几综合题，毕竟中考几何题还是相对简单的。也就是说，这是一个解一切几何题的公式。这对解中考数学最后三道压轴题帮助极大。至于是否适用于高中几何，我不确定，毕竟我没在国内高中上过。但我猜测只要不涉及到微积分，此方法便能发挥其价值。

此方法优点：1）能解一切几何题；2）使用简便，只需机械思维；3）节省思考时间；4）错误率低

弱点：计算量大，简单且重复。
但反复练习便可大幅提高速度。

说了这么多，最关键的问题在于，此猜想是否正确。所以我把它发了上来，让大家验证一下。书写匆忙，欢迎批评。

追问

的确，这是一种实在无技巧性的方法，既是解析几何。。。

Answer 2

依题意可知：AD‖BC，所以∠DAC=∠ACB。
因为AC=AB，所以∠ABC=∠ACB，所以∠DAC=∠ABC
又因为∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠DAC，所以∠EAD=∠DAC
在△EBC中，∠ECA=180-∠E-2∠ABC
在△ECA中=180-∠E-∠EAC=180-∠E-2∠ABC
所以∠ECA=∠ACB，所以∠CDA=∠EAC=∠ECB
所以△DCA∽△ECB

Answer 3

证明：易证角CAD=角CBE，想证另一个角相等比较麻烦。下面要充分利用中点的条件了。过F点作BC得平行线，交BE于M.则有FM:AD=BM:AB,即FM:BM=AD:AB. 又由中位线定理。BC=2FM.BE=2BM,于是有BC:BE=AD:AB,再加上角CAD=角CBE，就可以说明这两个三角形相似了。根据是两边对应成比例且夹角相等。
你能看懂吗？自己画下图。

Answer 4

没图啊