Question

一道三角函数题，求解

已知函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π,x∈R) 的最大值是1，其图像经过点 M(π/3,1/2)
(1) 求 f(x) 的解析式；
(2)已知 α，β∈(0, π/2) , 且 f(α)=3/5 , f(β)=12/13 , 求 f(α-β) 的值。

要详细的计算过程，谢谢。

Answer 1

解：（1）因为f(x)=Asin(x+φ)的最大值是1，
所以|A|=1，
因为A>0，所以A=1
f(x)=sin(x+φ) ，f(π/3)=sin(π/3+φ) =1/2
因为0<φ<π，所以π/3<π/3+φ<4π/3
π/3+φ=π-π/6，得出φ=π/2
所以f(x)=sin(x+π/2)
（2）f(x)=sin(x+π/2)=cosx
因为α，β∈(0, π/2)
f(α)=cosα=3/5，f(β)=cosβ=12/13
所以sinα=4/5,sinβ=5/13.
f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(3/5)*(12/13)+ (4/5)*(5/13)=56/65
所以 f(α-β)=56/65

Answer 2

1.
最大值是1
|A|=1
A>0
A=1
图象经过点M(π/3,1/2)
1/2=sin(π/3+φ)
0<φ<π
π/3<φ+π/3<4π/3
所以φ+π/3=5π/6
φ=π/2
f(x)=sin(x+π/2)=cosx

2.
f(a)=cosa=3/5
f(b)=cosb=12/13
0<a<π/2
0<b<π/2
所以sina>0,sinb>0
因为sin²x+cos²x=1
所以sina=4/5,sinb=5/13
f(a-b)=cos(a-b)=cosacosb+sinasinb=56/65

Answer 3

1. 最大值是1 A=1
f(x)=sin(x+φ) 经过点 M(π/3,1/2) sin(x+φ)=1/2 φ=π/2
2. f(x)=cosx
f(α)=3/5 ,cosα=3/5 sinα=4/5
f(β)=12/13 cosβ=12/13 sinβ=5/13
f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=3/5*12/13+4/5+5/13=56/65