Question

一道向量和三角函数的题，求解

已知向量OA=(cosα,sinα) (α∈[-π,0]), 向量m=(2,1) , n=(0,-√5),且m⊥(OA－n).
(1)求向量OA;
(2)若cos(β－π)=√2／10 , 0＜β＜π,求cos(2α－β)
要详细的计算过程，谢谢。

Answer 1

1.OA=(cosα,sinα) ,n=(0,-√5),那么(OA－n)=（cosa,sina+√5)
m=(2,1) m⊥(OA－n).
那么m*(OA-n)=0
即2cosa+sina+√5=0 所以2cosa+sina =-√5
2cosa+sina=√5sin(a+β)其中tanβ=2(β∈[0,π/2]),
所以 sin(a+β)=-1 α∈[-π,0]), （a+β）∈[-π,π/2]
所以a+β=-π/2
cosa=cos(-π/2-β)=cos(π/2+β)=-sinβ
sina=sin(-π/2-β)=-sin((π/2+β)=-cosβ
tanβ=2,sinβ=2/√5,cosβ=1/√5
所以OA=(cosa,sina)=(-2/√5,-1/√5)
2.cos(β－π)=√2／10 , 0＜β＜π,cos(β－π)=√2/10=-cosβ
cosβ=-√2/10,sinβ=7√2/10
cos(2a-β)=cos2a*cosβ+sin2a*sinβ
sin2a=2sinacosa=4/5
cos2a=2cos²a-1=3/5
代入上式得：
cos(2a-β)=√2/2

追问

请问 tanβ=2 是如何得出的？

追答

2cosa+sina=√5sin(a+β)
右边展开，√5(sinβcosa+sinacosβ)=2cosa+sina
√5sinβ=2, √5cosβ=1
tanβ=sinβ/cosβ=2

Answer 2

这是第2问 

我还以为一次可以加两张图片呢，结果只能一次一张

第一问看好了吧