Question

韦达定理内容

Answer 1

一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

设两个根为x和y

则x+y=-b/a

xy=c/a

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，∏是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明
设<math>x_1</math>，<math>x_2</math>是一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的两个解，且不妨令<math>x_1 \ge x_2</math>。根据求根公式，有

<math>x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}</math>，<math>x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}</math>

所以

<math>x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac</math>，

<math>x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac</math>

Answer 2

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程ax²+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系: x1+ x2=-b/a x1·x2=c/a.

Answer 3

作用如下:
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么 ，
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，
x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

举一个例子吧:

3x^2+8x+4=0
X1+X2=-8/3
X1×X2=4/3 很容易得出两个根：
X1=-2 X2=-2/3

Answer 4

X1+X2=-a/b x1·x2=c/a