Question

高二椭圆方程题，高分急求

已知x^2/a^2+y^2/b^2（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的根号3倍，焦距为2根号2
1.求椭圆方程（算出来了）
2.若直线y=x+1/2交椭圆于PQ两点，求证点B（0，-b）在以PQ为直径的圆上。（连立方程算不出来了）
要求过程~~~

Answer 1

1.a^2 = 3b^2, a^2-b^2 = 8
所以b=2 a=2×根3
椭圆方程 x^2/12+y^2/4 = 1

2.其实就是证明PB垂直于QB
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
向量BP=(x1, y1+2)
向量BQ=(x2, y2+2)
两个向量点积 = x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4 = (y1-1/2)(y2-1/2)+y1y2+2(y1+y2)+4=2y1y2+3/2*(y1+y2)+17/4
把x=y-1/2带入椭圆方程得
(y-1/2)^2+3y^2 = 12
化简得16y^2-4y-47 = 0
y1+y2 = 1/4
y1y2 = -47/16
所以之前求的两个向量点积=2*(-47/16)+3/2*1/4+17/4=...
但是我算出来并不等于零。不过方法肯定是对的。也许是前面方程求错了吧，希望作为参考。

Answer 2

可以用向量来算啊。
如果你算出了椭圆的方程，将它与直线方程联立，可以知道P,Q两点的坐标。如果点B在以PQ为直径的圆上，那么向量PB与向量QB的数量积就是0. 只需要把数据带进去验证看一下是不是了。
这是一种方法了。很多过程我不知道怎么打就不给完整的过程了，我觉得你 应该能看懂了。
其实向量的方法有很广泛的应用，有很多还很巧妙，但是我不知道为什么很多同学都不采用，甚至在空间几何中也是这样，好像大家觉得能用“纯数学”的方法做才算厉害。。