Question

如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证AF⊥BE

Answer 1

假设AD和BE相交点O，AF和BE相交点M
由等腰三角形，D是BC中点，AD⊥BC
再由DE⊥AC
三角形ADC相似三角形DEC
AD:DE=DC:EC
故AD*EC=DE*DC
因为F为DE中点，D为BC中点
AD*EC=DE*DC=2DF*(1/2BC)=DF*BC
AD:DF=BC:EC
∠ADF=90-∠EDC=∠BCE
故三角形ADF相似三角形BCE
故∠CBE=∠DAF
∠AME=∠DAF+∠AOE=∠CBE+∠BOD=∠ADC=90
所以AF⊥BE

Answer 2

假设AD和BE相交点O，AF和BE相交点M
由等腰三角形，D是BC中点，AD⊥BC
再由DE⊥AC
三角形ADC相似三角形DEC
AD:DE=DC:EC
故AD*EC=DE*DC
因为F为DE中点，D为BC中点
AD*EC=DE*DC=2DF*(1/2BC)=DF*BC
AD:DF=BC:EC
∠ADF=90-∠EDC=∠BCE
故三角形ADF相似三角形BCE
故∠CBE=∠DAF
∠AME=∠DAF+∠AOE=∠CBE+∠BOD=∠ADC=90
所以AF⊥BE