Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1（1）讨论f（x）的单调性：（2）设a<-1.如果对任意x1，x2属于0到正无穷，

|f（x1）-f（x2）>4|x1-x2|，求a的取值范围。

Answer 1

(1)x属于(0,正无穷）。
f(x)'=(a+1)/x+a,
当a>=0时,f(x)'恒大于0, （0,正无穷）上递增；
当a<=-1时，f(x)'恒小于0，（0,正无穷）上递减；
当a在(-1,0)时，x在(0,-(a+1)/a)上递增，(-(a+1)/a,正无穷）递减。
(2)a<-1, f(x)在（0,正无穷）上递减
设x1<x2, 则f(x1)>f(x2)。
f(x1)-f(x2)>4(x2-x1),即(a+1)(lnx1-lnx2)>(4+a)(x2-x1)。
a+1<0, (lnx1-lnx2)/(x2-x1)<(4+a)/(1+a), g(x)=lnx是增函数，左式<0并趋近于0
对任意x1,x2上式都成立，(4+a)/(1+a)>=0, 则a<=-4。

Answer 2

(1)x属于(0,正无穷）。
f(x)'=(a+1)/x+a,
当a>=0时,f(x)'恒大于0, （0,正无穷）上递增；
当a<=-1时，f(x)'恒小于0，（0,正无穷）上递减；
当a在(-1,0)时，x在(0,-(a+1)/a)上递增，(-(a+1)/a,正无穷）递减。
(2)a<-1, f(x)在（0,正无穷）上递减
设x1<x2, 则f(x1)>f(x2)。
f(x1)-f(x2)>4(x2-x1),即(a+1)(lnx1-lnx2)>(4+a)(x2-x1)。
a+1<0, (lnx1-lnx2)/(x2-x1)<(4+a)/(1+a), g(x)=lnx是增函数，左式<0并趋近于0
对任意x1,x2上式都成立，(4+a)/(1+a)>=0, 则a<=-4。
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Answer 3

(1)
f‘(x)=(a+1)/x+a
由导函数图像得
a>0时f(x)在(-无穷,-(a+1)/a),(0,+无穷)递增 在[-(a+1)/a,0]递减
a<-1时f(x)在(-无穷,-(a+1)/a),(0,+无穷)递减 在[-(a+1)/a,0]递增
-1<a<0时f(x)在(-无穷,0),(-(a+1)/a,+无穷)递减 在[0,-(a+1)/a]递增
(2)