Question

已知α是实系数二次方程ax^2+bx+c=0的一个虚根,且α^3∈R,求证:a,b,c成等比数列

Answer 1

证明：设α=m+ni，n≠0
则α^3=(m+ni)³=m³-3mn²+i(3m²n-n³)
因为α^3∈R
所以3m²n-n³=0
所以3m²=n²
α是实系数二次方程ax^2+bx+c=0的一个虚根，则b²-4ac＜0
方程ax^2+bx+c=0的根为：[-b±i√(4ac-b²)]/(2a)
所以m²=(-b/2a)²=b²/(4a²)，n=(4ac-b²)/(4a²)
又3m²=n²
所以3b²/(4a²)=(4ac-b²)/(4a²)
所以3b²=4ac-b²
所以4b²=4ac
所以b²=ac
所以a,b,c成等比数列