Question

立体几何与二面角

如图，在RT三角形AOB中，角OAB=30度，斜边AB=4，RT三角形AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B—AO—C的直二面角，D是AB的中点，（1）求三棱锥O—BCD的体积（2）求证：平面COD垂直平面AOB（3）求异面直线Ao与CD所成角的大小。（用反三角函数表示）

Answer 1

1
RT三角形AOB中，角OAB=30度，斜边AB=4,OA=ABcos30=2√3,OB=ABsin30=2
作DE垂直OB于E,D是AB中点,DE||OA,DE=OA/2=√3
RT三角形AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B—AO—C的直二面角，
OA垂直(面COB),DE垂直(面COB)
Voabc=Sobc*OA/3=(2*2/2)*(2√3)/3=4√3/3
Vodbc=Sobc*DE/3=(2*2/2)*√3/3=2√3/3
Voacd=Voabc-Vodbc=2√3/3
2
RT三角形AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B—AO—C的直二面角
OC垂直OB,OC垂直OA,OC垂直(面AOB)
面COD垂直(面AOB)
3
DE||OA,DE=√3,OE=2/2=1 CE=√(OE^2+OC^2)=√5,
OA垂直OB\OC,OA垂直面OBC,DE垂直面OBC,DE垂直CD,CD=√(CE^2+DE^2)=√8
cosCDE=CE/CD=√5/√8=√10/4
CDE=arccos(√10/4)
DE||OA,OA与CD所成角=CDE=arccos(√10/4)