如图所示,在Rt三角形ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于H,交BC于E,求证EF=AD
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证明∵BC平分∠ABC
∴∠ABH=∠EBH
∵∠AHB=∠EHB=90º,BH=BH
∴三角形ABH≌三角形EBH
∴AH=BH ∠BAH=∠BEH
又∵FH=FH ∠AFH=∠EFH
∴三角形AFH≌三角形EFH
∴AF=EF
∵∠B+∠BAG=90º ∠B+∠C=90º
∴∠BAG=∠C
又∵∠BAG+∠EAF=∠BAH ∠C+∠CAE=∠BEH ∠BAH=∠BEH
∴∠EAF=∠CAE
∴三角形FAH≌三角形DAH
∴AF=AD
又∵AF=EF
∴EF=AD
∴∠ABH=∠EBH
∵∠AHB=∠EHB=90º,BH=BH
∴三角形ABH≌三角形EBH
∴AH=BH ∠BAH=∠BEH
又∵FH=FH ∠AFH=∠EFH
∴三角形AFH≌三角形EFH
∴AF=EF
∵∠B+∠BAG=90º ∠B+∠C=90º
∴∠BAG=∠C
又∵∠BAG+∠EAF=∠BAH ∠C+∠CAE=∠BEH ∠BAH=∠BEH
∴∠EAF=∠CAE
∴三角形FAH≌三角形DAH
∴AF=AD
又∵AF=EF
∴EF=AD
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