Question

如图,已知抛物线y=-1/2x²+x+4交x轴的正半轴于点A,交Y轴于点B

（1）设P（x,y)(x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O为原点），以PQ为对角线作正方形PEQF与直线AB有公共点，求X的取值范围
（2）在（1）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于X的函数解析式，并求S的最大值

Answer 1

解：令y=0，得x=4，-2，点A在x正半轴，所以A（4,0）
令x=0，得y=4，所以B（0,4）
直线xy：y=-x+4
点P（x，x），点Q（x/2,x/2）
(1) 考虑两种极端，点P恰好在直线AB上，和点Q恰好在直线AB上
点P在AB上： 解y=x,y=-x+4得x=2，点P1(2,2)
点Q在AB上： 解y=x,y=-x+4得x=2，点Q(2,2)，所以点P2(4,4)
若要有公共点，P必在P1P2之间，所以2<=x<=4
(2) 记PEQF与直线AB焦点为M，N
因为PEQF四边分别与坐标轴平行，点M，N都在直线AB上
所以MN各与点Q共用一个坐标点，M(4-x/2,x/2) , N(x/2,4-x/2)
公共面积就是三角形QMN的面积，
S=1/2*QM*QN=1/2 * (4-x/2-x/2) * (4-x/2-x/2)=1/2 * (x-4)^2
抛物线开口向上，最低点时x=4，所以在[2,4]上S随x的增大而减小。
即x=2时S最大，S=2