Question

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是什么？

Answer 1

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A中必有一列向量是其余列向量的线性组合。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数）。

若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束。

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。