Question

如图,BC是圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E

求证AC*BC=2BD*CD

Answer 1

过D做BC边的垂线，交BC于F点，交弧BC于G点

二分之一BC*CD就是三角形BCD的面积=二分之一BC为低*DF

即：2BD*CD=2BC*DF

要证明AC*BC=2BD*CD

只需证明AC*BC=2BC*DF

两边消去BC，即AC=2DF

D为AC弧中点

C为弧DG中点

即弧AC=弧DC，即AC=DG

又DG=2DF

故AC=2DF

证明成立

行列式

在n阶行列式中，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。

克莱姆(Cramer）法则：主对角线的数分别相乘，所得值相加；副对角线的数分别相乘，所得值的相反数相加。两者总和为行列式的值。此法仅适用于小于4阶的行列式。

Answer 2

过D做BC边的垂线，交BC于F点，交弧BC于G点
二分之一BC*CD就是三角形BCD的面积=二分之一BC为低*DF
即：2BD*CD=2BC*DF
要证明AC*BC=2BD*CD
只需证明AC*BC=2BC*DF
两边消去BC，即AC=2DF
D为AC弧中点
C为弧DG中点
即弧AC=弧DC，即AC=DG
又DG=2DF
故AC=2DF
证明成立

Answer 3

连接DO，将DO相交于AC的点设为F
由已知可得：AO=OD=OC、角AOD=角DOC
故DO垂直于AC且F为AC中点
三角形DOC面积 等于 1/2三角形BDC面积，即S(DOC)=1/2*S(BDC)

S(DOC)=1/2*DO*FC=1/2*(1/2*BC)*(1/2*AC)=1/8*AC*BC
1/2*S(BDC)=1/2*(1/2*CD*BD)=1/4*CD*BD

由上，
可得等式 1/8*AC*BC=1/4*CD*BD，即AC*BC=2BD*CD

得证