Question

求教数学题，具体问题看补充

我们考虑一个由{1，2，……，n，……，2n}这2n个正整数组成的长度为2n的数字序列A。如果i>j而且A[i]>A[j]则称A中的i和j构成了一个“逆序对”。显然，序列A中的任意两个位置都有可能成为逆序对。例如，一个完全正序的序列：1，2，3，……，2n中没有逆序对。而完全逆序的序列2n，2n-1，……，3，2，1中逆序对的个数是(4n-1)*2n个。
我们既不考虑完全正序序列，也不考虑完全逆序序列。我们讨论一类特殊的“半序序列”：一个任意的排列A=(a[1],a[2],…,a[n],…,a[2n])，如果所有奇数位置上的数都正序排列，则称之为一个半序序列，例如：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 2 4 10 6 7 8 1 9 5
例如以下序列就不是半序序列：
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (所有位置都不是正序)
10 1 9 2 3 4 5 6 7 8(10和9都在奇数位置上，而且他们顺序反了)
我们想知道某种长度的半序序列的逆序对的平均个数。例如，n=2时，半序序列有12个：
1 2 3 4 （逆序对0个）
1 2 4 3 （逆序对1个）
1 3 2 4 （逆序对1个）
1 3 4 2 （逆序对2个）
1 4 2 3 （逆序对2个）
1 4 3 2 （逆序对3个）
2 1 3 4 （逆序对1个）
2 1 4 3 （逆序对2个）
2 3 4 1 （逆序对3个）
2 4 3 1 （逆序对4个）
3 1 4 2 （逆序对3个）
3 2 4 1 （逆序对4个）
所以，平均逆序对个数是：26/12个。
现给出计算的公式。

Answer 1

我们可以设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由大到小为标准次序。设p1p2……pn
为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi（i＝1,2，……n），如果比pi大的而且排在
pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序对是ti。全体元素的逆序对之和为
T1＝t1＋t2＋……＋tn
而每一个半序序列就有一个T1，求出所有半序序列的 Ti的和T.
再用T除以半序序列的个数 C2nn*n!(C2nn表示从2n个不同元素中，任取n个元素并成一组)
平均逆序对个数可表示为：T/C2nn*n!.

追问

.........
这T怎么求啊
完全没有规律
不能算出具体数值吗？

追答

不同的半序序列对应不同的T1，而我们要求的是平均个数，所以没有规律。

追问

........可是我们学校有个变态不知道用什么方法用了一个公式
平均逆序对个数=（7n*n-n）/12
问他他又说是自己乱猜的，结果用电脑测试，n1000的没测
这是怎么一回事啊

追答

不好意思，这个你最好向你同学请教一下 ，我帮不了你。

追问

唉，算了。这道题太变态了，提问时间快没了，分给你吧

Answer 2

有些难度。

追问

有难度我才放上来啊，
我们数学老师美名曰：没时间.......
特无语

追答

智商有限，没法帮你，抱歉抱歉！