Question

高数多元函数求极值问题：

题目：求抛物线y＝x²到直线x－y－2＝0之间的最短距离。这个题目用高中方法很好解，但是这怎么用大学多元函数极值发求解？y＝x²是平面一条固定的抛物线，那么F（x,y）＝y－x²代表的具体是什么样的图形？？没金币了，分数不多，谢谢回答

Answer 1

简单来说，一元函数用导数，多元函数用梯度。解题思路是这样的：

第一步构建方程：

  设y=x^2上的一点(x1,y1)，x-y-2=0上的一点(x2,y2)，则欧式距离就是

     f(x1,x2,y1,y2)=sqrt(  (x1-x2)^2+(y1-y2)^2  );

变量替换，得f(x1,x2)

再求f'(x1),f'(x2)，即分别对x1,x2求偏导，并令导数等于零，即可求得x1,x2。

代入原式，变量都能求出，于是代入上式，即可得极值。

Answer 2

楼上的回答不太精确，表达式 F（x,y）＝y－x² 表示 抛物线y＝x² 的曲线簇，“抛物线平移形成的面”的说法是没有数学含义的～～～
至于极值的求解，楼上正解
设抛物线上点（a,a^2）和直线上点（b,b-2） ,则所求距离函数为：
d(a,b)=√[(a-b)^2+(a^2-b+2)^2]
求距离的极值，只需用函数d(a,b)分别对变量a,b求偏导，并分别令其等于零，此处为了简化计算，可以用d^2进行求导，以简化微分运算，不过得到的两个方程最高阶次为3次，并不好求解。。。

Answer 3

F（x,y）是抛物线经过平移形成的面，用多元函数极值法求解不用考虑这个的吧？
设抛物线上点（t,t^2）,和直线上点（s,s-2）
即求f(t,s)=(t-s)^2+(t^2-s+2)^2 的最小值
再求两个偏导令其为0解出最值点就行啦