Question

求解一道高中函数问题

已知X1是X·log2X=3的根，X2是X·2^X=3的根，求X1+X2的值

Answer 1

用画图的方法做：
log2x=3/x 2^x=3/x
作出y=log2x,y=3/x,y=2^x，y=x的图像,y=log2x与y=3/x,y=2^x与y=3/x的交点分别为A,B,y=3/x与y=x于C点,AB与y=x交于点D 则A(x1,3/x1),B(x2,3/x2)，C(3^(1/2),3^(1/2))
因为y=log2x与y=2^x关于y=x对称
所以直线AB垂直y=x即kAB=-1 所以(3/x1-3/x2)/(x1-x2)=-1 得x1*x2=3
设x＾2－bx＋3＝0 x1，x2为其两个解则x1＋x2＝b
D（b／2，b／2）直线AB：x+y-b=0
所以点C到ABd的距离d1=|2*3^(1/2)-b|/(2^(1/2))
点O到AB的距离d2=|-b|/(2^(1/2))
而OC=6^(1/2)=d2-d2 解得b=2*3^(1/2)
所以x1+x2=2*3^(1/2)