Question

如图,设抛物线C1:y=a(x+1)^2-5,C2:y=-a(x-1)^2-5,C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.

如图,设抛物线C1:y=a(x+1)^2-5,C2:y=-a(x-1)^2-5,C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的直线为l,且l与x轴交于点N.
①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2)，求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

Answer 1

解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，
∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，
∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；
（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG= ，EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得 ，
∴ ，
∴x= ，
∴点N的横坐标为 ；
②当点D移到与点A重合时，如图，
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），
∴G（ ，2），
∴NQ= ，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点D移到与点B重合时，如图：
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点N横坐标的范围为 ≤x≤ ．

Answer 2

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