Question

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=1,∫<(a+b)/2,b>f(x)dx=(b-a)/2

求证：在（a,b）内至少存在一点ξ，使f ' (ξ)=0
在线等高人

Answer 1

由微积分第一中值定理可得：
存在一点e，使得：∫<(a+b)/2,b>f(x)dx=f(e)(b-(b+a)/2)=f(e)*(b-a)/2=(b-a)/2
则f(e)=1 e属于（(a+b)/2，b）包含于（a，b）
所以f(e)=f(a)=1
由罗尔定理可得：存在 ξ属于（a，b），使f ' (ξ)=0

追问

看似正确的 但a=ξ时不能使用罗尔定理 因为利用积分中值定理时ξ属于闭区间[a,b]

追答

不懂，楼主问的什么，a= ξ？
a本来就不等于ξ啊
那个e是属于【(a+b)/2，b】 包含于（a，b]的
然后用的罗尔定理的

追问

这样我清楚了 谢了

追答

那是楼主积分上下区间没看清楚哦！！不是【a,b】，而是【(a+b)/2,b】的吧！