Question

数学题 急！！

1、已知方程2x²-8x+1=0，利用根与系数的关系求下列各式的值
① 【x1】²x2+x1【x2】平方 ② 【x1/x2】+【x2/x1】 ③ 【x1】²+x1x2+【x2】²

2、若实数x1、x2满足【x1】²-3x1+1=0，【x2】平方-3x2+1=0，求【x2/x1】+【x1/x2】
3、关于x的一元二次方程x²-【5k+1】x+k²-2=0是否存在K的值，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，情说明理由

Answer 1

1.由韦达定理知：x1+x2=8/2=4，x1x2=1/2
① 【x1】²x2+x1【x2】平方=x1x2(x1+x2)=1/2*4=2
② 【x1/x2】+【x2/x1】=(x1²+x2²)/(x1x2)=(x1+x)²/(x1x2)-2=4²/(1/2)-2=32-2=30
③ 【x1】²+x1x2+【x2】²=(x1+x2)²-x1x2=4²-1/2=31/2
2、若实数x1、x2满足【x1】²-3x1+1=0，【x2】平方-3x2+1=0，
则实数x1、x2是x²-3x+1=0的两个根。
所以x1+x2=3，x1x2=1
【x2/x1】+【x1/x2】=(x1²+x2²)/(x1x2)=(x1+x)²/(x1x2)-2=3²/1-2=9-2=7
3、设两个根是x1，x2，则x1+x2=5k+1，x1x2=k²-2
要使x的一元二次方程x²-【5k+1】x+k²-2=0存在两个实数根，
则根的判别式Δ=(5k+1)²-4(k²-2)≥0，即21k²+10k+9≥0恒成立。
方程的两个实数根的倒数和等于4，
即1/x1+1/x2=4
因为1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=(5k+1)/(k²-2)
所以(5k+1)/(k²-2)=4
则5k+1=4k²-8
则4k²-5k-9=0
则(4k-9)(k+1)=0
解得k=9/4或k=-1
所以
k=9/4或k=-1时，方程的两个实数根的倒数和等于4