Question

直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于C(3,0)？

在抛物线的对称轴上是否存在点P使△ABP是直角三角形

Answer 1

解: 参考上图，由直线y=3x+3可知A(-1,0)，B( 0,3)，抛物线既过A(-1,0)又过C(3,0)，所以，其对称轴是x=1。故P点坐标是(1，y)。

AP直线的斜率是(y-0)/(1+1)=y/2

BP直线的斜率是(y-3)/(1-0)=y-3

若AP垂直于BP，则(y-3)y/2=-1

即y^2-3y+2=0，y1=1，y2=2

除此以外，还有可能AB分别与AP或BP垂直，而AB的斜率是3，即当AP或BP的斜率分别是-1/3时，即y/2=-1/3，y3=-2/3，或y-3=-1/3，y4=8/3。所以，抛物线上共有4个P点满足△ABP是直角三角形。