Question

一道数学难题，急求解！

已知整数a，b，c，d满足abcd=6(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)
(1)是否存在满足上诉条件的a，b，c，d均为整数？若存在，求出所有的解；若不存在，请说明理由。
（2）若a>1,b>1,c>1,d>1,求出a+b+c+d的最小值。
（参考知识：
1、当a、b、c、d>0时，abcd小于等于[(a+b+c+d)/4]^4，等号当且仅当a=b=c=d时成立。
2、当a、b、c、d>0时，(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)大于等于16，等号当且仅当a=b=c=d时成立）

求详解，可追加悬赏！！！！

Answer 1

不要用参考知识，个人感觉没什么用

恩，其实第二问已经说明了，如果a,b,c,d中有一个为1，其余数有一个为0，另外两个任意肯定是组解，所以下面只讨论abcd都不是1和0的情况。

无妨a>=b>=c>=d，本题你可以想象一下，当abcd都很大的时候，很明显右面比左面大得多，因此答案可以用穷举法。虽然麻烦，但是思路很清楚。

当d>=4时，两边同除以abcd，可得即便a=b=c=d=4，右面都大于左边。故d=2,3,或负数（负的最后讨论）
d=3,c=4,有ab=3（a-1）（b-1），即使a=b=4也有右边大于左边。
d=3,c=3,3ab=8(a-1)(b-1),简单算算也没有解。

d=2,abc=3(a-1)(b-1)(c-1),由上面方法，可得到c<4，于是只需考虑c=3或2
d=2,c=3,ab=2(a-1)(b-1),直接算吧，可得到b=3,a=4
d=2,c=2,2ab=3(a-1)(b-1)，还是直接算,b=5,a=6;b=4.a=9;
其实做到这里第二问的答案就有了，最小值为12，(2,3,3,4)

现在讨论负数的（原题可能没要求），这里再估计d的最小值就不适用了，因为算不出来。
所以换个思考办法，若d为负数，则d-1绝对值大于d，因此a,b,c中一定有离1特别近的数，由第一部分的分析，知a,b,c一定有一个数为2或3.
这时假设c,d都为负数，那么即使a=b=2，都会发现右面大于左面，因此，至多d为负数，a,b,c必为正数。
若c=3,简单计算可得右面大于左边，因此c=2,abd=3(a-1)(b-1)(d-1)
同样可得到b=2,于是2ad=3(a-1)(d-1)，做到这里就可以发现a也只能为2了，于是算出d=-3

综上所述，除了a,b,c,d有的数为0或1的情况外。整数解为（2,3,3,4）、(2,2,5,6)、(2,2,4,9)、(2,2,2,-3)
本题可能有点难，因此不保证完全做对，但是方法肯定没错，按这个做我连做带打也就花了15分钟左右。

追问

第一问答案：（4,3,3,2）,(9,4,2,2),(6,5,2,2)
第二问答案：(太恶心了，不知怎么算的)
四次根号六除以（四次根号六减一的差）
即（4√6）/（4√6-1）
求过程呀！！！

追答

看了答案可以确定，你这个题目本身不是严谨的。
第一问应说明必须是正整数，或者abcd都大于1，否则比如（2，2,2，-3）和0,1,10,10这肯定都算解。
第二问的要求是abcd可以不为整数，那么它就是纯粹的不等式，当a=b=c=d时取最小值，两边同除以abcd后，右边可看成函数1-1/x，这个函数你用凹凸性考虑，可以得到当a=b=c=d取最值。
不管怎么说了，此时你算出的答案应该就是它那个答案了

Answer 2

abcd中，其中有两个，一个为1，一个为0，为其解，无穷多个。另一个解，不妨设a-1=b,b-1=c,2(d-1)=a,3(c-1)=b,由b-1=c，和3(c-1)=b得，c=2,b=3,再代入解得a=4，d=2，我觉得也是最小值了。我也不知道标准解。我不知道数学软件行不行的。