Question

初三数学题，关于圆的，高手速来围观！！！

已知：如图，AB是圆O的直径，弦CD垂直AB于E，M为AC弧上一点，AM的延长线交DC于F，求证：角AMD=角FMC

Answer 1

由四边形外角等于内对角， ∠FMC=∠FDA,
弧AC=弧AD，所对的角也相等 ∠AMD= ∠CDA(即 ∠FDA)
等价代换 ∠AMD=∠FMC

Answer 2

AB为直径，DC⊥AB
→弧AC=弧AD
→∠AMD=∠ADC
→只需证∠CMF=∠ADF
→只需证△FMC∽△FDA
→只需证∠MCF=∠DAF
→只需证∠MCD与∠DAF互补
→
因为 弧DAC与弧DBC互补
所以 ∠MCD与∠DAF互补（互补的弧所对圆周角互补）

Answer 3

连接MB，因为AB为直径，CD垂直于AB，所以弧CB等于弧BD，角AMB为直角，角BMF也为直角（因为AB是直径）而角DMB等于角CMB（等弧的圆周角相等）所以角AMD=角FMC（等量减等量，余量相等）

Answer 4

如图：

证明：连接AC，

∵弦CD⊥直径AB，

∴弧AD=弧AC

∴∠ACD=∠ADC

∵∠ACD=∠AMD

∴∠ADC=∠AMD

又∵∠FMC=∠ADC  [圆的内接四边形的外角等于它的内对角]

∴∠AMD=∠FMC