Question

设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明f(x)是偶函数

设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)

(1)证明:f(x)是偶函数

(2)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数

(3)求函数的值域
函数是f(x)=x^2-2|x|-1(-3≤x≤3)
↑这里是次方

Answer 1

应该是设函数f(x)=x²-|2x|-1(-3≤x≤3）证明f(x)是偶函数
首先，定义域关于原点对称，
其次，利用f(-x)=-f(x)证明
f(-x)=(-x)²-|-2x|-1=x²-|2x|-1=f(x)
所以原函数是偶函数

Answer 2

（1）
f(x)=x^2-2|x|-1
f(-x)=(-x)^2-2|-x|-1 = )=(-x)^2-2|-x|-1 =(x)^2-2|x|-1 (因为(-x)^2=x^2 |-x|=|x|)
f(x)= f(-x)
所以是偶函数

（2）
f(x)=x^2-2x-1 = (x-1)^ -2 (0≤x≤3)
对称轴x0 = 1 开口向上 所以当1<=x<=3是增函数 0<=x<1是减函数
最大值在x=0或者x=3 f(0) = -1 f(3) = (3-1)^2 - 2 = 2
最小值在x=x0 f(1) = -2
f(x)=x^2-2x-1 = (x-1)^ -2 (0≤x≤3)的值域为 [-2, 2]

f(x)=x^2+2x-1 = (x+1)^ -2 (-3≤x<0)
对称轴x0 = -1 开口向上 所以当-1<=x<=0是增函数 -3<=x<=-1是减函数
最大值在x=0或者x=-3 f(0) = -1 f(-3) = (-2)^2 - 2 = 2
最小值在x=x0 f(-1) = -2
f(x)=x^2+x-1 = (x-1)^ -2 (-3≤x<0)的值域为 [-2, 2]

(3)由（2）知，
f(x)=x^2-2x-1 = (x-1)^ -2 (0≤x≤3)的值域为 [-2, 2]
f(x)=x^2+x-1 = (x-1)^ -2 (-3≤x<0)的值域为 [-2, 2]
故，f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) 的值域为[-2,2]

Answer 3

1，带f(-x)进去，=f(x)，是偶函数
2.分段讨论~其中因为是偶函数，可以只算y轴一边的，另一边可以推出来，要是不直观可以画图看
3、继续分段讨论~其实画图很直观~

Answer 4

1、f(-x)=(-x)^2-2|-x|-1=x^2-2|x|-1=f(x)
得证

2、x∈[-3,0）时，f(x)=x^2+2x-1=（x+1）^2-2，在[-3,-1)上单减，在[-1,0)上单增
x∈[0,3]时，由对称性，在[0,1)上单减，在[1,3]上单增

3、x∈[-3,0)时，f(x)=x^2+2x-1=（x+1）^2-2，f(x)∈[-2,2]
x∈[0,3]时，由对称性，f(x)∈[-2,2]
故，f(x)∈[-2,2]