Question

y²=8x.过焦点做直线交抛物线于AB两点。且FA=2FB.则AB的值

Answer 1

抛物线yy=8x的焦点坐标为C(2,0)。设过焦点的直线为y=k(x-2)。
解方程组
y=k(x-2)，①
yy=8x。 ②
由①得yy=kk(xx-4x+4)，③
③-②并化简得xx-(4+8/kk)x+4=0。
x=2+4/kk±√(4+16/kk+16/kkkk-4)=2+4/kk±√(16/kk+16/kkkk)=2+4/kk±4√(1+kk)/kk，
即x=2+4/kk±4√(1+kk)/kk。
取x′=2+4/kk+4√(1+kk)/kk，④
x〃=2+4/kk-4√(1+kk)/kk，⑤
依题意有x′-2=2（2-x〃），即4/kk+4√(1+kk)/kk=2[4√(1+kk)/kk-4/kk]，亦即1+√(1+kk)=2[√(1+kk)-1]，1+√(1+kk)=2√(1+kk)-2，√(1+kk)=3,1+kk=9,kk=8，⑥
把⑥代入④得x′=4。⑦
把⑥代入⑤得x〃=1。⑧
把⑦代入②得yy=32，取其算术根得y′=4√2。
把⑧代入②得yy=8，为保证AB过点F，取其负根得y〃=-2√2。
点A,B的坐标分别为A(4,4√2)，B(1,-2√2)，所以|AB|=√（9+72）=9
（温馨提示：根据对称性，也可以取点A,B的坐标分别为A(4,-4√2)，B (1,2√2)，结果是一样的。式子⑥是根据相似三角形对应边成比例得出的，这样可以先不解出交点的纵坐标）

Answer 2

y^2=8x,2p=8,p/2=2,F(2,0)
过A作AC垂直x轴于C，过B作BD垂直x轴于D
FA=2FB，AC=2BD,FC=2FD,AC^2=4BD^2,AF^2=AC^2+CF^2
xa-2=2(2-xb),
(ya)^2=4yb^2,8xa=4*(8xb),xa=4xb
4xb-2=4-2xb
6xb=6,xb=1,xa=4
ya^2=8xa=32=AC^2
CF^2=(4-2)^2=4
AF=AC^2+CF^2,AF=6,FB=FA/2=3,AB=FA+FB=9