Question

求助一道数学题

若a，b，c为非0数，且（a+b-c）/ c =（a-b+c）/b =（b+c-a）/a .求[（a+b)(b+c)(c+a)] / abc 的值。

Answer 1

设(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c=k
则b+c-a=ak （1） b+c=a（1+k）
c+a-b=bk （2） c+a=b（1+k）
a+b-c=ck （3） a+b=c（1+k）
（a+b)(b+c)(c+a)/abc=（1+k）³
令（1）+（2）+（3）
得 a+b+c=（a+b+c）k
当a+b+c=0时 a+b=-c (a+b-c)/c=-2=k
当a+b+c≠0 k=1
∵（a+b)(b+c)(c+a)/abc=（1+k）³
∴k=1时，原式=8
k=-2时，原式=-1

Answer 2

由（a+b-c） / c =（a-b+c）/b =（b+c-a）/a
得（a+b-c） / c =（a-b+c）/b =（b+c-a）/a
=（（a+b-c）+（a-b+c）+(b+c-a))/(a+b+c) = 1;
则有（a+b-c） / c=1;（a-b+c）/b =1;（b+c-a）/a =1;
故有（a+b)(b+c)(c+a)] / abc = 2*2*2 =8

Answer 3

（a+b）/ c -1=（a+c）/b-1 =（b+c）/a-1=T-1
（a+b）/ c =（a+c）/b=（b+c）/a=T
a+b=Tc(1) a+c=Tb (2) b+c=Ta(3)
(1)-(2)得到b-c=T(c-b),(2)-(3)得到a-b=T(b-a)
所以T=-1
[（a+b)(b+c)(c+a)] / abc=T^3=(-1)^3=-1

Answer 4

等于8.
过程很简单，可是电脑上书写太不方便了。
就是把条件进行简化，（a+b）/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1，等式两边再同时把1减掉，你会发现其实a=b=c。这是最简单的算法。
有第二种，也是把条件简化，但是不直接得出a=b=c，而是把简化后的条件带入所求算式，得出的也是8.

Answer 5

答案是--1。利用所给条件得(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=(a+b-a-c)/(c-b)=-1三项相乘得原式=-1

Answer 6

当a+b+c=0时，既a+b=-c,代入原式易得最后结果等于-1;当a+b+c不等于0时，用等比性质将三式相加，可知a+b-c/c=1所以a+b/c=2,同理其它二式均等于2,所以三式相乘等于8.所以最后结果为-1或8