Question

高一数学、高手进！

已知数列前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3n(n属于正整数） 1求数列an的通项公式 2设Bn=n/3乘an，求BN的前N项和TN，， 只需要第2个问就行了！

Answer 1

第一题解得an=3[(2^n)-1]
∴Bn=n/3*an=n[(2^n)-1]=n*2^n-n
设cn=n*2^n,其前n项的和为Pn，设dn=-n,其前n项的和为Qn
∴Bn=cn+dn，Tn=Pn+Qn
Pn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n ①
2Pn= 1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+n*2^(n+1) ②
∴②-①得 Pn=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+……+2^n)=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2=(n-1)*2^(n+1)+2
Qn=-(n+1)n/2
∴Tn=(n-1)*2^(n+1)+2-(n+1)n/2

Answer 2

1.n=1,则a1=3;Sn=3an-3n,Sn-1=2an-1-3(n-1),相减得到an=2an-1+3,即an+3=2(an-1+3),
因为a1+3=6,所以,an+3=6*2^n-1=3*2^n,所以an=3*(2^n-1)
2.bn=n*2^n-n,我们只需要求n*2^n的和KN就可以了
很简单，列出KN和2*KN的式子，然后，两式相减就可以求出KN
思想就是依照等比数列的求和的原理来做这道题
通项是等差数列和等比数列的积，求和就用此方法

Answer 3

解：
1.
S1=a1=2a1-3
a1=3
Sn=2an-3n
Sn-1=2a(n-1)-3(n-1)
an=Sn-Sn-1=2an-3n-2a(n-1)+3(n-1)
an=2a(n-1)+3
an+3=2a(n-1)+6=2[a(n-1)+3]
(an+3)/[a(n-1)+3]=2，为定值。
a1+3=3+3=6
数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列。
an+3=6×2^(n-1)=3×2^n
an=3(2^n-1)
数列{an}的通项公式为an=3(2^n-1)
2.
bn=(n/3)an=n×2^n-n
令Bn=1×2^1+2×2^2+..+n×2^n
2Bn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Bn-2Bn=-Bn=2^1+2^2+2^3+...+2^n-n×2^(n+1)
=2(2^n-1)/(2-1)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1)-2
Bn=(n-1)×2^(n+1)+2
Tn=(n-1)×2^(n+1)+2+(1+2+...+n)
=(n-1)×2^(n+1)+2+n(n+1)/2
=(n-1)×2^(n+1)+(n^2+n+4)/2

Answer 4

第一问得到an=3*2^n-3
bn=(2^n-1)n=n*2^n-n Tn*2-Tn=Tn就可以了
OK!