Question

已知F1,F2分别是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1a大于b大于0）的左右焦点，p是椭圆c上的一点，且f1f2的绝对值=2

角f1pf2=π/3,三角形f1pf2面积为根号下3/3,
1.求椭圆c的方程
2.点m的坐标为（5/4,0）,过点f2且斜率为k的直线L与椭圆c相交于a,b两点，对于任意的k属于R,向量ma乘于mb是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由。

Answer 1

根据公式S=b^2* tan[(角f1pf2)/2]
即b^2tanπ/6=根号下3/3 ，得b=1
再由2c=2得c=1，从而求出a^2=2.
可得椭圆方程。
若不知道此公式，（事实上这个公式就是下面这个方式推导的）
可以根据三角形f1pf2中，知道f1f2=2，知道pf1+pf2=2a（椭圆定义），及f1pf2=π/3
利用解三角形中余弦定理来求解。

Answer 2

解：（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，在三角形PF1F2中，由余弦定理得4=m2+n2-2mncosπ3，由三角形的面积为33
所以12mnsin
π3=
33，所以mn=43，所以m+n=22，所以a=2；又c=1，所以b=1，椭圆C的方程为x22+ y2 =1；
（Ⅱ）由F1（1，0），直线l的方程为y=k（x-1）．由y=k(x-1)x22+y2 =1​消去y，（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2(2k2-1)2k2+1
∴MA•
MB=（x1-54，y1）（x2-54，y2）=（x1-54）（x2-54）+y1y2
=（x1-54）（x2-54）+k2（x1-54）（x2-54）
=（k2+1）2k2-22k2+1-4k2(k2+
54)2k2+1+2516+k2
=-4 k2-22k2+1+
2516=-
716由此可知MA•
MB=-716为定值．

Answer 3

了